Κίνα: εγχειρίδια, σχόλια και ένα κουτί με επτά κομμάτια
Τα Εννέα Κεφάλαια για τη Μαθηματική Τέχνη (Jiuzhang Suanshu) είναι συλλογή πρακτικών προβλημάτων — μέτρηση γης, ανταλλαγή σιτηρών, φορολογία, κατασκευή — συντεθειμένη περίπου τον 1ο αιώνα μ.Χ. Ο διασημότερος σχολιαστής του, ο Liu Hui, έγραψε σχόλιο το 263 μ.Χ., προσθέτοντας αιτιολογήσεις, μεταξύ των οποίων μια προσέγγιση του π με εγγεγραμμένα πολύγωνα. Το μάθημα για όποιον λύνει γρίφους είναι ότι η κινεζική μαθηματική γραφή συχνά παρουσιάζει ένα πρόβλημα, μια απάντηση και μια μέθοδο· η αιτιολόγηση συχνά προσφερόταν από τους σχολιαστές.
Τα μεταγενέστερα εγχειρίδια συνέχισαν αυτό το μοτίβο. Το Sunzi Suanjing εισήγαγε το πρόβλημα των υπολοίπων που λύνουμε στη σελίδα με μοτίβα αριθμών, και τα έργα του Yang Hui του 13ου αιώνα διέσωσαν τόσο το αριθμητικό τρίγωνο όσο και μελέτες μαγικών τετραγώνων.
Το tangram (qiqiaoban, «επτά σανίδες επιδεξιότητας») είναι πολύ νεότερο από ό,τι συχνά ισχυρίζονται. Τα δημοσιευμένα βιβλία tangram εμφανίζονται στην Κίνα στις αρχές του 19ου αιώνα, και ο γρίφος εξαπλώθηκε γρήγορα στην Ευρώπη και στις Ηνωμένες Πολιτείες. Οι ιστορίες για έναν αρχαίο εφευρέτη ονόματι «Tan» είναι μεταγενέστερη επινόηση.
Το tangram είναι χιλιάδων ετών.
Η τεκμηριωμένη ιστορία του ξεκινά περίπου στις αρχές του 1800 στην Κίνα· οι ισχυρισμοί για μεγάλη ηλικία δεν υποστηρίζονται από πηγές.
Ιαπωνία: γεωμετρία ναών, αλυσίδες προκλήσεων και σύγχρονοι λογικοί γρίφοι
Το 1627 ο Yoshida Mitsuyoshi εξέδωσε το Jinkōki, ένα δημοφιλές βιβλίο αριθμητικής που δίδασκε μεθόδους soroban (αβάκιο) και καθημερινό υπολογισμό. Σε μεταγενέστερες εκδόσεις περιλήφθηκαν άλυτα προβλήματα ως προκλήσεις για τους αναγνώστες. Άλλοι συγγραφείς τα απάντησαν σε νέα βιβλία και πρότειναν δικά τους νέα προβλήματα — μια αλυσίδα από idai («κληροδοτημένα προβλήματα») που προώθησε τη wasan, τα ιαπωνικά μαθηματικά. Ο Seki Takakazu, δραστήριος στα τέλη του δέκατου έβδομου αιώνα, εργάστηκε μέσα σε αυτή την κουλτούρα και ανέπτυξε τις ορίζουσες ανεξάρτητα από τους Ευρωπαίους μαθηματικούς.
Τα sangaku ήταν ξύλινες πινακίδες που κρέμονταν σε ιερά του Σιντοϊσμού και βουδιστικούς ναούς κατά την περίοδο Έντο, περίπου 1603–1868. Παρουσίαζαν προβλήματα γεωμετρίας — συχνά κύκλους τοποθετημένους μέσα σε τρίγωνα ή ανεμιστήρες — με μια απάντηση και μερικές φορές χωρίς λύση, καλώντας τους επισκέπτες να τη βρουν. Πολλά προσφέρονταν από αγρότες, εμπόρους και σαμουράι και όχι από επαγγελματίες επιστήμονες. Σώζονται αρκετές εκατοντάδες.
Μια πρόκληση τύπου sangaku με πλήρη συλλογισμό
Πρόβλημα
Δύο κύκλοι με ακτίνες 4 και 1 βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία και εφάπτονται μεταξύ τους. Πόση είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων όπου εφάπτονται στην ευθεία;
Βήμα 1. Ενώστε τα κέντρα. Επειδή οι κύκλοι εφάπτονται, η απόσταση μεταξύ των κέντρων είναι 4 + 1 = 5.
Βήμα 2. Τα κέντρα βρίσκονται σε ύψη 4 και 1 πάνω από την ευθεία, με κατακόρυφη διαφορά 3.
Βήμα 3. Η οριζόντια απόσταση d σχηματίζει ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και d και υποτείνουσα 5, άρα d = √(25 − 9) = 4.
Γενικός κανόνας: για ακτίνες R και r, η απόσταση είναι 2√(Rr). Εδώ 2√(4 × 1) = 4. Διάγραμμα με λόγια: ένας μεγάλος κύκλος και ένας μικρός κύκλος που στέκονται δίπλα δίπλα πάνω σε μια γραμμή δαπέδου, εφαπτόμενοι μία φορά.
Πλαίσιο πηγής
Hidetoshi Fukagawa και Tony Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry (Princeton University Press, 2008).
Τον εικοστό αιώνα, ο εκδοτικός οίκος Nikoli της Τόκιο δημιούργησε μια κουλτούρα λογικών παζλ φτιαγμένων στο χέρι. Ο ιδρυτής Maki Kaji ονόμασε το παζλ τοποθέτησης αριθμών «Sudoku» το 1984. Η πίστωση για τη μορφή του ίδιου του παζλ ανήκει στον Howard Garns, του οποίου το «Number Place» εμφανίστηκε στα περιοδικά Dell στις Ηνωμένες Πολιτείες από το 1979. Το KenKen, που προσθέτει κλουβιά αριθμητικών πράξεων, δημιουργήθηκε από τον Ιάπωνα δάσκαλο Tetsuya Miyamoto το 2004. Η ιχνηλάτηση αυτών των καταβολών δείχνει ειλικρινά την ανταλλαγή μεταξύ τόπων και όχι μια μεμονωμένη εφεύρεση.
Ινδία: στιχουργικά προβλήματα, μέτρα ποίησης και ένας διάσημος αριθμός
Το Lilavati του Bhaskara II, γραμμένο το 1150, παρουσιάζει αριθμητική και γεωμετρία κυρίως σε σανσκριτικούς στίχους, με προβλήματα για μέλισσες, παγώνια και μαργαριτάρια που απευθύνονται σε έναν ακροατή. Νωρίτερα, το έργο του Pingala για το ποιητικό μέτρο (Chandaḥśāstra) προκάλεσε αιώνες συνδυαστικών σχολίων, συμπεριλαμβανομένων των ακολουθιών καταμέτρησης που συζητούνται στη σελίδα για τα μοτίβα μας. Επιτραπέζια παιχνίδια όπως το moksha patam δίδασκαν ηθικά μαθήματα μέσω της τύχης και εξελίχθηκαν σε φίδια και σκάλες στη βικτοριανή Βρετανία.
Η σύγχρονη ινδική αναψυχαγωγική μαθηματική περιλαμβάνει τις αριθμητικές ρουτίνες του D. R. Kaprekar και, σε πολύ πιο προχωρημένο επίπεδο, τον Srinivasa Ramanujan, του οποίου οι τύποι για τις διαμερίσεις αναπτύχθηκαν εν μέρει από τον θαυμασμό για τα αριθμητικά μοτίβα.
Κορέα και Νοτιοανατολική Ασία
Ο λόγιος της εποχής Joseon, Choi Seok-jeong (1646–1715), περιέγραψε στην πραγματεία του Gusuryak μια διάταξη 9×9 που σήμερα αναγνωρίζεται ως ζεύγος ορθογώνιων λατινικών τετραγώνων — μια δομή που μελέτησε ο Leonhard Euler τη δεκαετία του 1780. Η κορεατική κουλτούρα του baduk, εν τω μεταξύ, παρήγαγε μερικούς από τους ισχυρότερους παίκτες Go του κόσμου. Στη Μαλαισία, την Ινδονησία και το Μπρουνέι, το παιχνίδι σποράς congkak παραμένει ένα ζωντανό παιχνίδι καταμέτρησης, που συζητείται στη σελίδα στρατηγικής μας.
Ρωτήστε για κάθε παζλ: ποιος το έφτιαξε, για ποιον, και τι περίμενε να μάθει ο λύτης;