Ξεκινήστε από την υπόθεση
Ακολουθεί μια πειστική υπόθεση: η τοποθέτηση των αριθμών 1 έως 9 σε τετράγωνο 3×3 ώστε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιος να έχει το ίδιο άθροισμα πρέπει να απαιτεί μια μεγάλη περίοδο δοκιμών και λαθών. Δεν χρειάζεται. Μια μικρή αλλαγή στον συλλογισμό — η καταμέτρηση του πόσες φορές χρησιμοποιείται το κεντρικό κελί — καθορίζει το κέντρο σε μία μόνο γραμμή αριθμητικής. Αυτή είναι η συνήθεια γύρω από την οποία είναι χτισμένος ο ιστότοπος.
Τέσσερις διαδρομές
Κάθε θέμα ξεκινά με μια πεποίθηση που φαίνεται προφανώς αληθινή και στη συνέχεια την ελέγχει. Θα συναντήσετε μοτίβα που σπάνε, παιχνίδια που ανταμείβουν το να κοιτάζετε προς τα πίσω, τύχη που αρνείται να «ισοσκελιστεί», και γρίφους των οποίων το νόημα εξαρτάται από το πού και πότε δημιουργήθηκαν.
Γιατί το 1, 2, 4, 8, 16 δεν ακολουθείται από το 32, και πώς ο αλγόριθμος του Kaprekar και το τρίγωνο του Γιανγκ Χουι ανταμείβουν τον έλεγχο του κανόνα.
Βρείτε τον κανόνα →
Παιχνίδια αφαίρεσης, Go, σόγκι, σιανγκί και παιχνίδια σποράς mancala — και γιατί η καλύτερη κίνηση συχνά προέρχεται από το τέλος του παιχνιδιού.
Ζυγίστε την κίνηση →
Δύο ζάρια, κοινά γενέθλια, τα στελέχη αχιλλείας του I Ching και ένα διάσημο πρόβλημα με πόρτες — μετρημένα προσεκτικά πριν η διαίσθηση ψηφίσει.
Μετρήστε το →
Πινακίδες Sangaku στην Ιαπωνία, το πρόβλημα των υπολοίπων του Σουνζί στην Κίνα, οι στιχουργικοί γρίφοι του Μπχάσκαρα ΙΙ στην Ινδία και τα τετράγωνα του Τσόι Σοκ-τσονγκ στην Κορέα.
Διαβάστε στο πλαίσιό του →Επεξεργασμένο παράδειγμα
Πρόβλημα
Τοποθετήστε καθέναν από τους αριθμούς 1 έως 9 μία φορά σε πλέγμα 3×3, ώστε και οι τρεις γραμμές, και οι τρεις στήλες, και οι δύο διαγώνιοι να αθροίζουν στο ίδιο σύνολο. Ποιος αριθμός πρέπει να μπει στο κέντρο;
Αρκετοί αριθμοί θα μπορούσαν να μπουν στο κέντρο· το διαπιστώνετε δοκιμάζοντας διατάξεις.
Μόνο το 5 μπορεί να μπει στο κέντρο, και μπορείτε να το αποδείξετε πριν τοποθετήσετε ούτε ένα άλλο πλακίδιο.
Βήμα 1 — βρείτε το άθροισμα γραμμής. Οι αριθμοί 1 έως 9 αθροίζουν 45. Οι τρεις γραμμές χρησιμοποιούν κάθε αριθμό ακριβώς μία φορά, άρα κάθε γραμμή αθροίζει 45 ÷ 3 = 15.
Βήμα 2 — μετρήστε το κέντρο. Τέσσερις γραμμές διέρχονται από το κέντρο: η μεσαία γραμμή, η μεσαία στήλη και οι δύο διαγώνιοι. Μαζί, αυτές οι τέσσερις γραμμές καλύπτουν και τα εννέα κελιά, αλλά το κέντρο μετράει τέσσερις φορές αντί για μία.
Βήμα 3 — γράψτε το ως εξίσωση. Οι τέσσερις γραμμές αθροίζουν 4 × 15 = 60. Ισούνται επίσης με 45 + 3 × (κέντρο). Άρα 45 + 3c = 60, που δίνει c = 5.
Βήμα 4 — ελέγξτε το όριο. Με 5 στο κέντρο, κάθε ζεύγος αντίθετων κελιών πρέπει να αθροίζει 10: (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). Η δοκιμή ενός περιττού αριθμού σε γωνία αποτυγχάνει γρήγορα, οπότε οι γωνίες παίρνουν τους άρτιους αριθμούς. Με εξαίρεση περιστροφές και ανακλάσεις υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, που φαίνεται παρακάτω — οκτώ προσανατολισμοί συνολικά.
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Έκδοση κειμένου: πάνω γραμμή 4, 9, 2· μεσαία γραμμή 3, 5, 7· κάτω γραμμή 8, 1, 6. Κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιος αθροίζει 15.
Πλαίσιο πηγής
Αυτή η διάταξη είναι γνωστή στην Κίνα ως Lo Shu, συνδεδεμένη με τον μύθο του ποταμού Λο και του άρχοντα Γιου που έλεγξε τις πλημμύρες. Το αριθμητικό τετράγωνο καταγράφεται σαφώς σε μεταγενέστερα σχόλια, και ο μαθηματικός Γιανγκ Χουι συζήτησε μεγαλύτερα μαγικά τετράγωνα στο έργο του του 1275 Xugu Zhaiqi Suanfa.
Ιστορία, με προσοχή
Οι «ασιατικοί γρίφοι» δεν είναι μία παράδοση. Είναι πολλές, φτιαγμένες από συγκεκριμένους ανθρώπους για συγκεκριμένα κοινά. Μερικά παραδείγματα στα οποία επανερχόμαστε σε όλο τον ιστότοπο:
Ξύλινες ζωγραφισμένες πινακίδες με προβλήματα γεωμετρίας που κρέμονταν σε θρησκευτικά ιερά του Σίντο και βουδιστικούς ναούς, συχνά από τοπικούς ερασιτέχνες, μεταξύ του 17ου και του 19ου αιώνα.
Πλαίσιο πηγής
Fukagawa & Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, 2008.
Το Sunzi Suanjing ζητά έναν αριθμό που αφήνει υπόλοιπα 2, 3 και 2 όταν διαιρείται με 3, 5 και 7 — ο σπόρος αυτού που σήμερα ονομάζεται Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων.
Πλαίσιο πηγής
Επεξεργάζεται αναλυτικά στη σελίδα μας για μοτίβα αριθμών.
Κείμενο μαθηματικών γραμμένο σε μεγάλο μέρος του σε στίχους, με αριθμητικά και συνδυαστικά προβλήματα απευθυνόμενα σε έναν ακροατή, που συνδυάζει τον υπολογισμό με την αφήγηση.
Πλαίσιο πηγής
Δείτε τη σελίδα παραδόσεων για το ευρύτερο πλαίσιό του.
Ο λόγιος-αξιωματούχος της εποχής Τζοσον περιέγραψε μια διάταξη 9×9, που σήμερα αναγνωρίζεται ως ζεύγος ορθογώνιων λατινικών τετραγώνων, δεκαετίες πριν μελετήσει την ιδέα ο Λέονχαρντ Όιλερ.
Πλαίσιο πηγής
Από την πραγματεία του Gusuryak.
Βοήθεια συλλογισμού
Όχι. Αν κόψουμε έναν κύκλο με χορδές που περνούν από 1, 2, 3, 4, 5 σημεία, παίρνουμε 1, 2, 4, 8, 16 περιοχές — και μετά 31 για έξι σημεία, όχι 32. Ένα μοτίβο γίνεται κανόνας μόνο όταν μπορείτε να εξηγήσετε γιατί πρέπει να συνεχιστεί.
Για ένα δίκαιο νόμισμα, όχι. Κάθε ρίψη είναι ανεξάρτητη, οπότε η επόμενη είναι πάλι 1 προς 2. Το να πιστεύει κανείς το αντίθετο είναι το σφάλμα του τζογαδόρου.
Καθόλου. Τα περισσότερα από τα παραδείγματά μας χρησιμοποιούν πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και προσεκτική καταμέτρηση. Πιο σημαντικό είναι να γράφετε κάθε βήμα.
Η σειρά σας
Κολλήσατε σε ένα βήμα, εντοπίσατε έναν ισχυρισμό που αμφιβάλλετε ή γνωρίζετε μια παράδοση παζλ που δεν έχουμε καλύψει; Πείτε μας τι υποθέσατε και πού σταμάτησε ο συλλογισμός. Διαβάζουμε κάθε μήνυμα και αναφέρουμε τους αναγνώστες όταν μια ερώτηση διαμορφώνει μια νέα εξήγηση.