Mit der Annahme beginnen
Hier eine verlockende Annahme: Die Zahlen 1 bis 9 so in ein 3×3-Quadrat einzutragen, dass jede Zeile, Spalte und Diagonale dieselbe Summe ergibt, müsse eine lange Probier-Sitzung kosten. Das stimmt nicht. Eine kleine Änderung in der Überlegung — zu zählen, wie oft das Mittelfeld verwendet wird — legt die Mitte mit einer einzigen Rechnung fest. Genau diese Denkgewohnheit steht im Mittelpunkt dieser Website.
Vier Wege
Jedes Thema beginnt mit einer Überzeugung, die offensichtlich wahr erscheint, und prüft sie dann. Sie werden Muster kennenlernen, die brechen, Spiele, die den Blick zurück belohnen, Zufall, der sich nicht „ausgleichen“ lässt, und Rätsel, deren Bedeutung davon abhängt, wo und wann sie entstanden sind.
Warum auf 1, 2, 4, 8, 16 nicht 32 folgt und warum sich das Überprüfen der Regel bei Kaprekars Verfahren und Yang Huis Dreieck lohnt.
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Aufgabe
Verteilen Sie die Zahlen 1 bis 9 jeweils einmal so auf ein 3×3-Gitter, dass alle drei Zeilen, alle drei Spalten und beide Diagonalen dieselbe Summe ergeben. Welche Zahl muss in die Mitte?
Mehrere Zahlen könnten in der Mitte stehen; welche es ist, finden Sie heraus, indem Sie Anordnungen ausprobieren.
Nur 5 kann in der Mitte stehen, und das lässt sich beweisen, bevor man auch nur ein weiteres Plättchen platziert.
Schritt 1 — Summe einer Linie bestimmen. Die Zahlen 1 bis 9 ergeben zusammen 45. Die drei Zeilen verwenden jede Zahl genau einmal, also ergibt jede Zeile 45 ÷ 3 = 15.
Schritt 2 — die Mitte zählen. Durch die Mitte laufen vier Linien: die mittlere Zeile, die mittlere Spalte und beide Diagonalen. Zusammen decken diese vier Linien alle neun Felder ab, wobei die Mitte viermal statt einmal gezählt wird.
Schritt 3 — als Gleichung schreiben. Die vier Linien ergeben zusammen 4 × 15 = 60. Sie ergeben außerdem 45 + 3 × (Mitte). Also 45 + 3c = 60, somit c = 5.
Schritt 4 — die Grenze prüfen. Mit 5 in der Mitte muss jedes Paar gegenüberliegender Felder 10 ergeben: (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). Eine ungerade Zahl in einer Ecke scheitert schnell, daher kommen in die Ecken die geraden Zahlen. Bis auf Drehung und Spiegelung gibt es genau ein Quadrat, unten gezeigt — insgesamt acht Ausrichtungen.
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Textversion: oberste Zeile 4, 9, 2; mittlere Zeile 3, 5, 7; unterste Zeile 8, 1, 6. Jede Zeile, Spalte und Diagonale ergibt 15.
Quellenkontext
Diese Anordnung ist in China als Lo Shu bekannt und der Legende nach mit dem Luo-Fluss und dem hochwasserbändigenden Herrscher Yu verbunden. Das Zahlenquadrat ist in späteren Kommentaren eindeutig belegt, und der Mathematiker Yang Hui besprach größere magische Quadrate in seinem Werk Xugu Zhaiqi Suanfa von 1275.
Geschichte, sorgfältig betrachtet
„Asiatische Rätsel“ ist keine einheitliche Tradition. Es sind viele, von bestimmten Menschen für bestimmte Publikumskreise geschaffen. Einige Beispiele, auf die wir auf dieser Website immer wieder zurückkommen:
Bemalte Holztafeln mit geometrischen Aufgaben, die zwischen dem 17. und 19. Jahrhundert oft von lokalen Liebhabern gestiftet wurden und in shintoistischen Schreinen und buddhistischen Tempeln hingen.
Quellenkontext
Fukagawa & Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, 2008.
Das Sunzi Suanjing sucht eine Zahl, die bei Division durch 3, 5 und 7 die Reste 2, 3 und 2 lässt — der Keim des heute so genannten Chinesischen Restsatzes.
Quellenkontext
Ausgearbeitet auf unserer Seite zu Zahlenmustern.
Ein Mathematiktext, größtenteils in Versen verfasst, mit Rechen- und Kombinationsaufgaben, die an einen Zuhörer gerichtet sind und Rechnung mit Erzählung verbinden.
Quellenkontext
Siehe die Seite zu den Traditionen für deren weiteren Zusammenhang.
Der Gelehrte und Beamte der Joseon-Zeit beschrieb eine 9×9-Anordnung, die heute als ein Paar orthogonaler lateinischer Quadrate erkannt wird, Jahrzehnte bevor Leonhard Euler die Idee untersuchte.
Quellenkontext
Aus seiner Abhandlung Gusuryak.
Denkhilfe
Nein. Ein Kreis, der durch 1, 2, 3, 4, 5 Punkte mit Sehnen zerschnitten wird, ergibt 1, 2, 4, 8, 16 Gebiete — und bei sechs Punkten dann 31, nicht 32. Ein Muster wird erst zur Regel, wenn man erklären kann, warum es sich fortsetzen muss.
Bei einer fairen Münze nicht. Jeder Wurf ist unabhängig, daher bleibt die Chance des nächsten Wurfs bei 1 zu 2. Etwas anderes zu glauben ist der Spielerfehlschluss.
Überhaupt nicht. Die meisten unserer Beispiele verwenden Addition, Multiplikation und sorgfältiges Zählen. Wichtiger ist, jeden Schritt aufzuschreiben.
Sie sind dran
Kommen Sie bei einem Schritt nicht weiter, ist Ihnen eine Behauptung unplausibel vorgekommen oder kennen Sie eine Rätseltradition, die wir noch nicht behandelt haben? Teilen Sie uns mit, welche Annahme Sie getroffen haben und wo die Argumentation stecken blieb. Wir lesen jede Nachricht und nennen Leserinnen und Leser namentlich, wenn eine Frage einen neuen Beitrag geprägt hat.