Start med antakelsen
Her er en fristende antakelse: å plassere tallene 1 til 9 i et 3×3-kvadrat slik at hver rad, kolonne og diagonal får samme sum, må ta en lang økt med prøving og feiling. Det må det ikke. Én liten endring i resonnementet — å telle hvor ofte midtcellen brukes — fikser midten i én enkelt regnestykke. Det er vanen dette nettstedet er bygget rundt.
Fire veier
Hvert tema begynner med en tro som føles åpenbart sann, og tester den så. Du vil møte mønstre som brytes, spill som belønner å se bakover, sjanse som nekter å «jevne seg ut», og gåter hvis mening avhenger av hvor og når de ble laget.
Hvorfor 1, 2, 4, 8, 16 ikke etterfølges av 32, og hvordan Kaprekars rutine og Yang Huis trekant belønner det å sjekke regelen.
Finn regelen →
Ta-bort-spill, go, shogi, xiangqi og mancala-såspill — og hvorfor det sterkeste trekket ofte kommer fra slutten av spillet.
Vei trekket →
To terninger, felles bursdager, I Chings yarrow-stilker og et berømt dørpuslespill — telt nøye før intuisjonen får stemme.
Tell det opp →
Sangaku-tavler i Japan, Sunzis restproblem i Kina, Bhaskara IIs versgåter i India og Choi Seok-jeongs kvadrater i Korea.
Les i sin kontekst →Gjennomarbeidet eksempel
Problem
Plasser hvert av tallene 1 til 9 én gang i et 3×3-rutenett slik at alle tre rader, alle tre kolonner og begge diagonaler gir samme sum. Hvilket tall må stå i midten?
Flere tall kunne stå i midten; du finner ut hvilket ved å prøve oppstillinger.
Bare 5 kan stå i midten, og du kan bevise det før du legger en eneste annen brikke.
Steg 1 — finn linjesummen. Tallene 1 til 9 gir til sammen 45. De tre radene bruker hvert tall nøyaktig én gang, så hver rad gir 45 ÷ 3 = 15.
Steg 2 — tell midten. Fire linjer går gjennom midten: midterste rad, midterste kolonne og begge diagonaler. Sammen dekker disse fire linjene alle ni cellene, men midten telles fire ganger i stedet for én gang.
Steg 3 — skriv det som en likning. De fire linjene gir til sammen 4 × 15 = 60. De er også lik 45 + 3 × (midten). Altså 45 + 3c = 60, som gir c = 5.
Steg 4 — test grensen. Med 5 i midten må hvert par motstående celler summere til 10: (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). Å prøve et oddetall i et hjørne feiler raskt, så hjørnene tar de partall. Opp til rotasjon og speiling finnes nøyaktig ett kvadrat, vist nedenfor — åtte orienteringer til sammen.
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Tekstversjon: øverste rad 4, 9, 2; midterste rad 3, 5, 7; nederste rad 8, 1, 6. Hver rad, kolonne og diagonal summerer til 15.
Kildekontekst
Dette oppsettet kalles i Kina Lo Shu, og er ifølge legenden knyttet til Luo-elven og herskeren Yu, som tøylet flommene. Tallkvadratet er tydelig nedtegnet i senere kommentarer, og matematikeren Yang Hui drøftet større magiske kvadrater i sitt verk Xugu Zhaiqi Suanfa fra 1275.
Historie, med omtanke
«Asiatiske gåter» er ikke én tradisjon. Det er mange, laget av bestemte mennesker for bestemte publikum. Noen eksempler vi kommer tilbake til på nettstedet:
Malte trebrett med geometriske oppgaver som ble hengt opp i shintoistiske helligdommer og buddhistiske templer, ofte av lokale amatører, mellom 1600- og 1800-tallet.
Kildekontekst
Fukagawa & Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, 2008.
Sunzi Suanjing spør etter et tall som gir restene 2, 3 og 2 ved deling med henholdsvis 3, 5 og 7 — kimen til det som i dag kalles den kinesiske restsetningen.
Kildekontekst
Gjennomgått på vår side om tallmønstre.
En matematikktekst skrevet i stor grad på vers, med regne- og kombinatoriske oppgaver rettet mot en lytter, og der beregning blandes med fortelling.
Kildekontekst
Se siden om tradisjoner for dens videre sammenheng.
Den lærde embetsmannen fra Joseon beskrev et oppsett på 9×9 som i dag regnes som et par ortogonale latinske kvadrater, flere tiår før Leonhard Euler studerte ideen.
Kildekontekst
Fra hans traktat Gusuryak.
Resonnementshjelp
Nei. Hvis man deler en sirkel med kjorder gjennom 1, 2, 3, 4, 5 punkter, får man 1, 2, 4, 8, 16 områder — og deretter 31 for seks punkter, ikke 32. Et mønster blir først en regel når du kan forklare hvorfor det må fortsette.
For en rettferdig mynt, nei. Hvert kast er uavhengig, så det neste er fortsatt 1 av 2. Å tro noe annet er spillerens feilslutning.
Slett ikke. De fleste av våre gjennomarbeidede eksempler bruker addisjon, multiplikasjon og nøye telling. Det viktigste er å skrive ned hvert steg.
Din tur
Har du kommet til et steg du ikke klarer, lagt merke til en påstand du tviler på, eller kjenner en gåtetradisjon vi ikke har dekket? Fortell oss hva du antok, og hvor resonnementet stoppet. Vi leser alle meldinger og krediterer lesere når et spørsmål former en ny forklaring.