Et mønster er ennå ikke en regel
Plasser punkter rundt en sirkel og forbind hvert par med en rett korde. Tell områdene inni. Med 1, 2, 3, 4 og 5 punkter får du 1, 2, 4, 8 og 16 områder. Fordoblingen virker utvilsom, så den fristende antagelsen er at seks punkter gir 32.
Områdene dobles hver gang, så seks punkter gir 32.
Seks punkter (i generell posisjon) gir 31. Fordoblingen var et sammentreff med små tall.
Grunnen kan telles. Hvert område utover det første skapes enten av en korde eller av et kryss mellom to kordeer. Med n punkter finnes C(n, 2) kordeer og C(n, 4) kryss, fordi fire vilkårlige punkter bestemmer nøyaktig ett kryss. Antall områder er altså 1 + C(n, 2) + C(n, 4). For seks punkter blir det 1 + 15 + 15 = 31. Når du vet hvorfor, mister «mønsteret» med potenser av to sin autoritet.
Dette er arbeidsmetoden for hele denne siden: legg merke til en regelmessighet, og spør deretter hvilken mekanisme som ville tvinge den til å fortsette.
Kaprekars rutine: et mønster du kan bevise ved å sjekke
I 1949 beskrev den indiske læreren D. R. Kaprekar, som arbeidet i Devlali nær Nashik, en enkel rutine. Ta et firesifret tall der ikke alle sifrene er like. Ordne sifrene i synkende rekkefølge, deretter i stigende, og trekk det minste fra det største. Gjenta.
Eksempel
Start 3524 → 5432 − 2345 = 3087 → 8730 − 0378 = 8352 → 8532 − 2358 = 6174 → 7641 − 1467 = 6174
Hvert gyldig startall når 6174 innen høyst sju steg, og 6174 avbildes deretter på seg selv. Regelen er her ikke gjettet ut fra noen få tilfeller: det finnes færre enn 10 000 firesifrede inndata, så påstanden kan verifiseres fullstendig — og det er gjort, mange ganger.
Å teste grensene er lærerikt. Du må beholde innledende nuller: 2111 gir 2111 − 1112 = 0999, og du fortsetter med 9990 − 0999, ikke 999 − 999. Dropper du nullen, bryter rutinen sammen. Repdigits (tall med like sifre) som 7777 gir 0000 med én gang, og det er grunnen til at de er utelatt.
Prøv det
Tall med færre sifre fylles ut med innledende nuller.
Yang Huis trekant og dens indiske motpart
Tallrekken der hvert tall er summen av de to over det, kalles ofte Pascals trekant, etter Blaise Pascals avhandling fra 1654. Tidligere versjoner finnes. I Kina kjennes den som Yang Huis trekant: Yang Hui trykte den i 1261 og tilskrev den matematikeren Jia Xian fra 1000-tallet, som brukte den til å finne røtter. I India forklarte kommentatoren Halayudha på 900-tallet en «Meru Prastara» (trappen til Meru-fjellet) mens han drøftet Pingalas mye eldre arbeid med å telle versmål.
Hver rad summerer seg til en potens av to: 1, 2, 4, 8, 16. Dette er et mønster med en grunn. Rad n teller på hvor mange måter man kan velge elementer fra n alternativer, og hvert alternativ blir enten valgt eller ikke, noe som gir 2n muligheter totalt.
Hvorfor radene summerer seg til potenser av to — fullstendig argument
Tallene i rad 4 er 1, 4, 6, 4, 1. De teller delmengder av en mengde med fire elementer med 0, 1, 2, 3 og 4 elementer. Hver delmengde telles nøyaktig én gang, og det finnes 2 × 2 × 2 × 2 = 16 delmengder, fordi hvert element uavhengig av de andre er med eller ikke. Altså 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. Det samme argumentet gjelder for enhver rad.
Beslektet telling forekommer i indisk versifikasjon. Å telle rytmer bygget av korte stavelser (én taktdel) og lange stavelser (to taktdeler) gir 1, 2, 3, 5, 8, 13… — en følge som ble drøftet av Virahanka og senere av Hemachandra rundt 1150, langt før Fibonaccis Liber Abaci fra 1202.
Sunzis restproblem
Problem · Sunzi Suanjing
Det finnes et ukjent antall ting. Teller du dem i tre, blir to igjen. Teller du dem i fem, blir tre igjen. Teller du dem i sju, blir to igjen. Hvor mange ting er det?
Du må teste tall ett om gangen til alle tre betingelsene passer.
Kombiner først betingelser som har samme rest; søket krymper til en håndfull kandidater.
Vis den utregnede løsningen
Steg 1. Rest 2 ved deling på 3 og på 7 betyr at tallet er 2 mer enn en multippel av 21. Kandidater: 2, 23, 44, 65, 86, 107…
Steg 2. Hvilket tall gir rest 3 ved deling på 5? 2 gir rest 2; 23 gir rest 3. Altså fungerer 23.
Steg 3 — grensen. 23 er det minste svaret, ikke det eneste. Å legge til 105 (= 3 × 5 × 7) bevarer alle restene, så 128, 233 og så videre passer også. Sunzis tekst gir 23.
Kildekontekst
Den Sunzi Suanjing («Sun Zis matematiske håndbok») dateres vanligvis til mellom det tredje og femte århundre e.Kr. En generell metode ble senere utviklet av Qin Jiushao i hans Shushu Jiuzhang fra 1247.
En tallrekke forteller deg hva som skjedde. En begrunnelse forteller deg hva som må skje videre.
Vil du se hvordan mønstre blir til valg? Fortsett med strategisk logikk, eller les om hvor disse kildene kommer fra på siden om gåtetradisjoner.