Ein Muster ist noch keine Regel
Setzen Sie Punkte auf einen Kreis und verbinden Sie jedes Paar mit einer geraden Sehne. Zählen Sie die Gebiete im Inneren. Bei 1, 2, 3, 4 und 5 Punkten erhält man 1, 2, 4, 8 und 16 Gebiete. Die Verdopplung wirkt eindeutig, deshalb liegt die verlockende Annahme nahe, dass sechs Punkte 32 ergeben.
Die Gebiete verdoppeln sich jedes Mal, also ergeben sechs Punkte 32.
Sechs Punkte (in allgemeiner Lage) ergeben 31. Die Verdopplung war ein Zufall kleiner Zahlen.
Der Grund ist abzählbar. Jedes Gebiet über dem ersten entsteht entweder durch eine Sehne oder durch einen Schnittpunkt zweier Sehnen. Bei n Punkten gibt es C(n, 2) Sehnen und C(n, 4) Schnittpunkte, denn jede vier Punkte bestimmen genau einen Schnittpunkt. Die Anzahl der Gebiete ist also 1 + C(n, 2) + C(n, 4). Für sechs Punkte ergibt das 1 + 15 + 15 = 31. Sobald Sie warum wissen, verliert das „Muster“ der Zweierpotenzen seine Überzeugungskraft.
Das ist die Arbeitsweise dieser ganzen Seite: Erkennen Sie eine Regelmäßigkeit und fragen Sie dann, welcher Mechanismus sie zwingen würde, sich fortzusetzen.
Kaprekars Routine: ein Muster, das Sie durch Nachprüfen beweisen können
1949 beschrieb der indische Schullehrer D. R. Kaprekar, der in Devlali bei Nashik arbeitete, eine einfache Routine. Nehmen Sie eine vierstellige Zahl, deren Ziffern nicht alle gleich sind. Ordnen Sie ihre Ziffern absteigend und dann aufsteigend an und subtrahieren Sie die kleinere von der größeren. Wiederholen Sie dies.
Beispiel
Ausgangszahl 3524 → 5432 − 2345 = 3087 → 8730 − 0378 = 8352 → 8532 − 2358 = 6174 → 7641 − 1467 = 6174
Jede gültige Ausgangszahl erreicht 6174 in höchstens sieben Schritten, und 6174 bildet sich dann auf sich selbst ab. Die Regel wird hier nicht aus wenigen Fällen geraten: Es gibt weniger als 10.000 vierstellige Eingaben, sodass sich die Behauptung vollständig prüfen lässt – und das wurde vielfach getan.
Die Grenzen zu testen ist lehrreich. Sie müssen führende Nullen beibehalten: 2111 ergibt 2111 − 1112 = 0999, und Sie fahren mit 9990 − 0999 fort, nicht mit 999 − 999. Lassen Sie die Null weg, bricht die Routine zusammen. Zahlen mit gleichen Ziffern wie 7777 ergeben sofort 0000, weshalb sie ausgeschlossen sind.
Ausprobieren
Zahlen mit weniger Stellen werden mit führenden Nullen aufgefüllt.
Das Yang-Hui-Dreieck und sein indisches Gegenstück
Das Zahlendreieck, in dem jeder Eintrag die Summe der beiden darüberliegenden ist, wird oft nach Blaise Pascals Abhandlung von 1654 Pascal-Dreieck genannt. Frühere Fassungen existieren. In China ist es als Yang-Hui-Dreieck bekannt: Yang Hui veröffentlichte es 1261 und schrieb es dem Mathematiker Jia Xian aus dem 11. Jahrhundert zu, der es zum Wurzelziehen verwendete. In Indien erklärte der Kommentator Halayudha im 10. Jahrhundert eine „Meru-Prastara“ (Treppe des Berges Meru), während er das viel ältere Werk Pingalas über das Zählen poetischer Metren besprach.
Jede Zeile ergibt eine Zweierpotenz: 1, 2, 4, 8, 16. Dieses Muster hat einen Grund. Zeile n zählt die Möglichkeiten, Elemente aus n Optionen auszuwählen, und jede Option wird entweder gewählt oder nicht, was insgesamt 2n Möglichkeiten ergibt.
Warum die Zeilen Zweierpotenzen ergeben – vollständige Begründung
Die Einträge von Zeile 4 sind 1, 4, 6, 4, 1. Sie zählen die Teilmengen einer Menge mit vier Elementen mit 0, 1, 2, 3 bzw. 4 Elementen. Jede Teilmenge wird genau einmal gezählt, und es gibt 2 × 2 × 2 × 2 = 16 Teilmengen, da jedes Element unabhängig enthalten ist oder nicht. Also 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. Dasselbe Argument gilt für jede Zeile.
Verwandte Zählungen tauchen in der indischen Metrik auf. Das Zählen von Rhythmen aus kurzen Silben (ein Taktschlag) und langen Silben (zwei Taktschläge) ergibt 1, 2, 3, 5, 8, 13… – eine Folge, die Virahanka und später um 1150 Hemachandra besprachen, lange vor Fibonaccis Liber Abaci von 1202.
Sunzis Restproblem
Aufgabe · Sunzi Suanjing
Es gibt eine unbekannte Anzahl von Dingen. Zählt man sie zu dritt, bleiben zwei übrig. Zählt man sie zu fünft, bleiben drei übrig. Zählt man sie zu siebt, bleiben zwei übrig. Wie viele Dinge gibt es?
Sie müssen Zahlen einzeln prüfen, bis alle drei Bedingungen passen.
Kombinieren Sie zuerst Bedingungen, die denselben Rest haben; die Suche schrumpft auf wenige Kandidaten.
Musterlösung anzeigen
Schritt 1. Rest 2 bei Division durch 3 und durch 7 bedeutet, dass die Zahl 2 mehr als ein Vielfaches von 21 ist. Kandidaten: 2, 23, 44, 65, 86, 107…
Schritt 2. Welche lässt bei Division durch 5 den Rest 3? 2 ergibt Rest 2; 23 ergibt Rest 3. Also passt 23.
Schritt 3 – die Grenze. 23 ist die kleinste Lösung, nicht die einzige. Addiert man 105 (= 3 × 5 × 7), bleiben alle Reste erhalten, also passen auch 128, 233 usw. Sunzis Text nennt 23.
Quellenkontext
Das Sunzi Suanjing („Mathematisches Handbuch des Meisters Sun“) wird meist ins 3. bis 5. Jahrhundert n. Chr. datiert. Ein allgemeines Verfahren entwickelte später Qin Jiushao in seinem Werk Shushu Jiuzhang von 1247.
Eine Folge sagt Ihnen, was geschehen ist. Eine Begründung sagt Ihnen, was als Nächstes geschehen muss.
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