Kuvio ei ole vielä sääntö
Aseta pisteitä ympyrän kehälle ja yhdistä jokainen pari suoralla jänteellä. Laske alueet ympyrän sisällä. Yhdellä, kahdella, kolmella, neljällä ja viidellä pisteellä saat 1, 2, 4, 8 ja 16 aluetta. Kaksinkertaistuminen näyttää selvältä, joten houkutteleva oletus on, että kuudella pisteellä saadaan 32.
Alueet kaksinkertaistuvat joka kerta, joten kuudella pisteellä saadaan 32.
Kuusi pistettä (yleisessä asemassa) antaa 31. Kaksinkertaistuminen oli pienten lukujen sattumaa.
Syy on laskettavissa. Jokainen ensimmäisen alueen jälkeen tuleva alue syntyy joko jänteen tai kahden jänteen risteyksen kautta. Kun pisteitä on n, jänteitä on C(n, 2) ja risteyksiä C(n, 4), sillä mikä tahansa neljä pistettä määrittää täsmälleen yhden risteyksen. Alueiden määrä on siis 1 + C(n, 2) + C(n, 4). Kuudelle pisteelle se on 1 + 15 + 15 = 31. Kun miksi tiedetään, kakkosen potenssien "kuvio" menettää uskottavuutensa.
Tämä on koko sivun työtapa: huomaa säännönmukaisuus ja kysy sitten, mikä mekanismi pakottaisi sen jatkumaan.
Kaprekarin rutiini: kuvio, jonka voit todistaa tarkistamalla
Vuonna 1949 intialainen koulunopettaja D. R. Kaprekar, joka työskenteli Devlalissa Nashikin lähellä, kuvasi yksinkertaisen rutiinin. Valitse nelinumeroinen luku, jonka numerot eivät ole kaikki samoja. Järjestä sen numerot laskevaan järjestykseen ja sitten nousevaan, ja vähennä pienempi luku suuremmasta. Toista.
Esimerkki
Alku 3524 → 5432 − 2345 = 3087 → 8730 − 0378 = 8352 → 8532 − 2358 = 6174 → 7641 − 1467 = 6174
Jokainen kelpo alkuluku päätyy lukuun 6174 enintään seitsemässä askeleessa, ja 6174 kuvautuu sen jälkeen itselleen. Sääntöä ei arvata muutamasta tapauksesta: nelinumeroisia syötteitä on alle 10 000, joten väitteen voi todentaa kattavasti, ja se on tehty monta kertaa.
Rajojen testaaminen on opettavaista. Etunollat on säilytettävä: 2111 antaa 2111 − 1112 = 0999, ja jatkat laskemalla 9990 − 0999, et 999 − 999. Jos poistat nollan, rutiini hajoaa. Toistonumerot, kuten 7777, antavat heti 0000, minkä vuoksi ne on rajattu pois.
Kokeile
Lyhyemmät luvut täydennetään etunollilla.
Yang Huin kolmio ja sen intialainen vastine
Lukukolmiota, jossa jokainen luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa, kutsutaan usein Pascalin kolmioksi Blaise Pascalin vuoden 1654 tutkielman mukaan. Aiempiakin versioita on olemassa. Kiinassa sitä tunnetaan Yang Huin kolmiona: Yang Hui julkaisi sen vuonna 1261 ja liitti sen 1000-luvun matemaatikolle Jia Xianille, joka käytti sitä juurten laskemiseen. Intiassa kommentaattori Halayudha selitti 1000-luvulla "Meru Prastaran" (Meru-vuoren portaat) käsitellessään paljon vanhempaa Pingalan työtä runomittojen laskemisesta.
Jokaisen rivin summa on kakkosen potenssi: 1, 2, 4, 8, 16. Tällä kuviolla on syy. Rivi n laskee tavat valita n vaihtoehdon joukosta, ja jokainen vaihtoehto joko valitaan tai ei valita, joten mahdollisuuksia on yhteensä 2n.
Miksi rivien summat ovat kakkosen potensseja: täysi perustelu
Rivin 4 luvut ovat 1, 4, 6, 4, 1. Ne laskevat neljän alkion joukon osajoukot, joissa on 0, 1, 2, 3 tai 4 alkiota. Jokainen osajoukko lasketaan täsmälleen kerran, ja osajoukkoja on 2 × 2 × 2 × 2 = 16, koska jokainen alkio on riippumattomasti mukana tai pois. Siis 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. Sama perustelu toimii millä tahansa rivillä.
Samankaltaista laskentaa esiintyy intialaisessa runousopissa. Lyhyistä tavuista (yksi iskuaika) ja pitkistä tavuista (kaksi iskuaikaa) koostuvien rytmien laskeminen antaa 1, 2, 3, 5, 8, 13… Tätä jonoa käsittelivät Virahanka ja myöhemmin Hemachandra noin vuonna 1150, hyvin ennen Fibonaccin vuoden 1202 teosta Liber Abaci.
Sunzin jakojäännösongelma
Tehtävä · Sunzi Suanjing
On tuntematon määrä asioita. Kolmella laskien jäljelle jää kaksi. Viidellä laskien jäljelle jää kolme. Seitsemällä laskien jäljelle jää kaksi. Montako asiaa on?
Sinun on testattava lukuja yksi kerrallaan, kunnes kaikki kolme ehtoa täsmäävät.
Yhdistä ensin ehdot, joilla on sama jakojäännös. Haku kapenee silloin muutamaan ehdokkaaseen.
Näytä ratkaisu vaihe vaiheelta
Vaihe 1. Jakojäännös 2 jaettaessa luvulla 3 ja luvulla 7 tarkoittaa, että luku on 2 enemmän kuin 21:n monikerta. Ehdokkaat: 2, 23, 44, 65, 86, 107…
Vaihe 2. Mikä luku jättää jakojäännöksen 3 jaettaessa luvulla 5? Luku 2 jättää 2; luku 23 jättää 3. Siis 23 käy.
Vaihe 3: raja. 23 on pienin ratkaisu, ei ainoa. Kun lisätään 105 (= 3 × 5 × 7), jokainen jakojäännös säilyy, joten myös 128, 233 ja niin edelleen käyvät. Sunzin teksti antaa luvun 23.
Lähdetausta
Teoksen Sunzi Suanjing ("Mestari Sunin matemaattinen käsikirja") ajoitus on yleensä 300–500-luvuilta jKr. Yleisen menetelmän kehitti myöhemmin Qin Jiushao teoksessaan Shushu Jiuzhang vuodelta 1247.
Jono kertoo, mitä tapahtui. Perustelu kertoo, mitä on pakko tapahtua seuraavaksi.
Haluatko nähdä, miten kuviot muuttuvat valinnoiksi? Jatka strategiseen logiikkaan tai lue, mistä nämä lähteet ovat peräisin pulmaperinteet-sivulta.