Ένα μοτίβο δεν είναι ακόμα κανόνας
Τοποθετήστε σημεία γύρω από έναν κύκλο και ενώστε κάθε ζεύγος με ευθύγραμμη χορδή. Μετρήστε τις περιοχές στο εσωτερικό. Με 1, 2, 3, 4 και 5 σημεία παίρνετε 1, 2, 4, 8 και 16 περιοχές. Ο διπλασιασμός φαίνεται αναμφισβήτητος, οπότε η δελεαστική υπόθεση είναι ότι τα έξι σημεία δίνουν 32.
Οι περιοχές διπλασιάζονται κάθε φορά, άρα τα έξι σημεία δίνουν 32.
Έξι σημεία (σε γενική θέση) δίνουν 31. Ο διπλασιασμός ήταν σύμπτωση με μικρούς αριθμούς.
Ο λόγος είναι μετρήσιμος. Κάθε περιοχή πέρα από την πρώτη δημιουργείται είτε από μια χορδή είτε από τη διασταύρωση δύο χορδών. Με n σημεία υπάρχουν C(n, 2) χορδές και C(n, 4) διασταυρώσεις, επειδή κάθε τέσσερα σημεία ορίζουν ακριβώς μία διασταύρωση. Άρα το πλήθος των περιοχών είναι 1 + C(n, 2) + C(n, 4). Για έξι σημεία αυτό είναι 1 + 15 + 15 = 31. Μόλις μάθετε γιατί, το «μοτίβο» των δυνάμεων του δύο χάνει την ισχύ του.
Αυτή είναι η μέθοδος εργασίας για ολόκληρη τη σελίδα: παρατηρήστε μια κανονικότητα και έπειτα αναρωτηθείτε ποιος μηχανισμός θα την αναγκάσει να συνεχιστεί.
Η διαδικασία Kaprekar: ένα μοτίβο που αποδεικνύεται με έλεγχο
Το 1949 ο Ινδός δάσκαλος D. R. Kaprekar, που δούλευε στο Devlali κοντά στο Nashik, περιέγραψε μια απλή διαδικασία. Πάρτε έναν τετραψήφιο αριθμό με ψηφία που δεν είναι όλα ίδια. Διατάξτε τα ψηφία σε φθίνουσα σειρά, μετά σε αύξουσα, και αφαιρέστε τον μικρότερο από τον μεγαλύτερο. Επαναλάβετε.
Παράδειγμα
Αρχή 3524 → 5432 − 2345 = 3087 → 8730 − 0378 = 8352 → 8532 − 2358 = 6174 → 7641 − 1467 = 6174
Κάθε έγκυρος αρχικός αριθμός φτάνει στο 6174 το αργότερο σε επτά βήματα, και το 6174 στη συνέχεια αντιστοιχίζεται στον εαυτό του. Εδώ ο κανόνας δεν μαντεύεται από λίγες περιπτώσεις: υπάρχουν λιγότερες από 10.000 τετραψήφιες εισόδους, οπότε ο ισχυρισμός μπορεί να ελεγχθεί εξαντλητικά — και έχει ελεγχθεί, πολλές φορές.
Ο έλεγχος των ορίων είναι διδακτικός. Πρέπει να κρατάτε τα αρχικά μηδενικά: το 2111 δίνει 2111 − 1112 = 0999, και συνεχίζετε με 9990 − 0999, όχι με 999 − 999. Αν αφαιρέσετε το μηδέν, η διαδικασία καταρρέει. Τα επαναλαμβανόμενα ψηφία, όπως το 7777, δίνουν αμέσως 0000, γι' αυτό αποκλείονται.
Δοκιμάστε το
Οι αριθμοί με λιγότερα ψηφία συμπληρώνονται με αρχικά μηδενικά.
Το τρίγωνο του Yang Hui και το ινδικό αντίστοιχό του
Το τρίγωνο αριθμών στο οποίο κάθε στοιχείο είναι το άθροισμα των δύο πάνω από αυτό συχνά ονομάζεται τρίγωνο του Pascal, από την πραγματεία του Blaise Pascal του 1654. Υπάρχουν προγενέστερες εκδοχές. Στην Κίνα είναι γνωστό ως τρίγωνο του Yang Hui: ο Yang Hui το δημοσίευσε το 1261, αποδίδοντάς το στον μαθηματικό του έντεκατου αιώνα Jia Xian, ο οποίος το χρησιμοποιούσε για την εξαγωγή ριζών. Στην Ινδία, ο σχολιαστής Halayudha τον δέκατο αιώνα εξήγησε μια «Meru Prastara» (σκάλα του όρους Meru) καθώς σχολίαζε το πολύ παλαιότερο έργο του Pingala για την καταμέτρηση ποιητικών μέτρων.
Κάθε γραμμή αθροίζεται σε δύναμη του δύο: 1, 2, 4, 8, 16. Είναι ένα μοτίβο με αιτιολόγηση. Η γραμμή n μετράει τους τρόπους επιλογής αντικειμένων από n επιλογές, και κάθε επιλογή είτε επιλέγεται είτε όχι, δίνοντας συνολικά 2n δυνατότητες.
Γιατί τα αθροίσματα των γραμμών είναι δυνάμεις του δύο — πλήρες επιχείρημα
Τα στοιχεία της γραμμής 4 είναι 1, 4, 6, 4, 1. Μετρούν τα υποσύνολα ενός συνόλου τεσσάρων στοιχείων με 0, 1, 2, 3 και 4 στοιχεία. Κάθε υποσύνολο μετράται ακριβώς μία φορά, και υπάρχουν 2 × 2 × 2 × 2 = 16 υποσύνολα, επειδή κάθε στοιχείο είναι ανεξάρτητα μέσα ή έξω. Άρα 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. Το ίδιο επιχείρημα ισχύει για οποιαδήποτε γραμμή.
Σχετικές καταμετρήσεις εμφανίζονται στην ινδική μετρική. Η καταμέτρηση ρυθμών που χτίζονται από βραχείες συλλαβές (μία μονάδα χρόνου) και μακρές συλλαβές (δύο μονάδες) δίνει 1, 2, 3, 5, 8, 13… — μια ακολουθία που συζητήθηκε από τον Virahanka και αργότερα από τον Hemachandra γύρω στο 1150, πολύ πριν από το Liber Abaci του Fibonacci το 1202.
Το πρόβλημα υπολοίπων του Sunzi
Πρόβλημα · Sunzi Suanjing
Υπάρχει ένας άγνωστος αριθμός πραγμάτων. Μετρημένα ανά τρία, μένουν δύο. Μετρημένα ανά πέντε, μένουν τρία. Μετρημένα ανά επτά, μένουν δύο. Πόσα πράγματα υπάρχουν;
Πρέπει να δοκιμάζετε αριθμούς έναν-έναν μέχρι να ταιριάξουν και οι τρεις συνθήκες.
Συνδυάστε πρώτα τις συνθήκες που έχουν το ίδιο υπόλοιπο· η αναζήτηση συρρικνώνεται σε λίγους υποψήφιους.
Εμφάνιση της λυμένης άσκησης
Βήμα 1. Υπόλοιπο 2 στη διαίρεση με το 3 και με το 7 σημαίνει ότι ο αριθμός είναι 2 περισσότερο από πολλαπλάσιο του 21. Υποψήφιοι: 2, 23, 44, 65, 86, 107…
Βήμα 2. Ποιος αφήνει υπόλοιπο 3 στη διαίρεση με το 5; Το 2 αφήνει 2· το 23 αφήνει 3. Άρα το 23 ισχύει.
Βήμα 3 — το όριο. Το 23 είναι η μικρότερη απάντηση, όχι η μόνη. Η προσθήκη του 105 (= 3 × 5 × 7) διατηρεί κάθε υπόλοιπο, οπότε και τα 128, 233 κ.ο.κ. ικανοποιούν τις συνθήκες. Το κείμενο του Sunzi δίνει 23.
Ιστορικό πλαίσιο
Το Sunzi Suanjing («Εγχειρίδιο Μαθηματικών του Δασκάλου Sun») χρονολογείται συνήθως μεταξύ του τρίτου και του πέμπτου αιώνα μ.Χ. Μια γενική μέθοδος αναπτύχθηκε αργότερα από τον Qin Jiushao στο έργο του 1247 Shushu Jiuzhang.
Μια ακολουθία σας λέει τι συνέβη. Μια αιτιολόγηση σας λέει τι πρέπει να συμβεί στη συνέχεια.
Θέλετε να δείτε πώς τα μοτίβα μετατρέπονται σε επιλογές; Συνεχίστε με τη στρατηγική λογική, ή διαβάστε από πού προέρχονται αυτές οι πηγές στη σελίδα παραδόσεις των γρίφων.