Wzorzec to jeszcze nie reguła
Umieść punkty na okręgu i połącz każdą parę prostym cięciwą. Policz obszary wewnątrz. Dla 1, 2, 3, 4 i 5 punktów otrzymujesz odpowiednio 1, 2, 4, 8 i 16 obszarów. Podwajanie wygląda jednoznacznie, więc kusi założenie, że sześć punktów daje 32.
Obszary podwajają się za każdym razem, więc sześć punktów daje 32.
Sześć punktów (w położeniu ogólnym) daje 31. Podwajanie było przypadkiem wynikającym z małych liczb.
Powód można policzyć. Każdy obszar poza pierwszym powstaje albo przez cięciwę, albo przez przecięcie dwóch cięciw. Dla n punktów jest C(n, 2) cięciw i C(n, 4) przecięć, ponieważ dowolne cztery punkty wyznaczają dokładnie jedno przecięcie. Liczba obszarów wynosi więc 1 + C(n, 2) + C(n, 4). Dla sześciu punktów daje to 1 + 15 + 15 = 31. Gdy już wiesz, dlaczego, „wzorzec” potęg dwójki traci swoją wiarygodność.
Taki nawyk pracy przewija się przez całą tę stronę: zauważ regularność, a potem zapytaj, jaki mechanizm wymusiłby jej kontynuację.
Procedura Kaprekara: wzorzec, który można udowodnić sprawdzeniem
W 1949 roku indyjski nauczyciel D. R. Kaprekar, pracujący w Devlali pod Nasikiem, opisał prostą procedurę. Weź czterocyfrową liczbę, której cyfry nie są wszystkie takie same. Ułóż jej cyfry malejąco, potem rosnąco, i odejmij mniejszą od większej. Powtarzaj.
Przykład
Start 3524 → 5432 − 2345 = 3087 → 8730 − 0378 = 8352 → 8532 − 2358 = 6174 → 7641 − 1467 = 6174
Każda poprawna liczba startowa dochodzi do 6174 najwyżej w siedmiu krokach, a 6174 odwzorowuje się wtedy na siebie. Reguła nie jest tu zgadywana na podstawie kilku przypadków: jest mniej niż 10 000 czterocyfrowych danych wejściowych, więc twierdzenie można zweryfikować wyczerpująco — i zrobiono to wielokrotnie.
Sprawdzanie granic jest pouczające. Trzeba zachować zera wiodące: 2111 daje 2111 − 1112 = 0999, i dalej liczysz 9990 − 0999, a nie 999 − 999. Pominięcie zera psuje procedurę. Liczby powtarzające jedną cyfrę, np. 7777, od razu dają 0000, dlatego są wykluczone.
Wypróbuj
Liczby o mniejszej liczbie cyfr uzupełniane są zerami z przodu.
Trójkąt Yang Hui i jego indyjski odpowiednik
Trójkąt liczb, w którym każdy wyraz jest sumą dwóch stojących nad nim, często nazywa się trójkątem Pascala, od traktatu Blaise'a Pascala z 1654 roku. Istnieją wcześniejsze wersje. W Chinach znany jest jako trójkąt Yang Hui: Yang Hui opublikował go w 1261 roku, przypisując go XI-wiecznemu matematykowi Jia Xianowi, który używał go do wyciągania pierwiastków. W Indiach komentator Halajudha w X wieku wyjaśnił „Meru Prastara” (schody góry Meru), omawiając znacznie starszą pracę Pingali o liczeniu metrów poetyckich.
Każdy wiersz sumuje się do potęgi dwójki: 1, 2, 4, 8, 16. To wzorzec z uzasadnieniem. Wiersz n zlicza sposoby wyboru elementów spośród n opcji, a każda opcja jest albo wybrana, albo nie, co daje łącznie 2n możliwości.
Dlaczego wiersze sumują się do potęg dwójki — pełne uzasadnienie
Wyrazy wiersza 4 to 1, 4, 6, 4, 1. Zliczają one podzbiory zbioru czteroelementowego o 0, 1, 2, 3 i 4 elementach. Każdy podzbiór jest policzony dokładnie raz, a jest 2 × 2 × 2 × 2 = 16 podzbiorów, bo każdy element niezależnie wchodzi lub nie wchodzi. Zatem 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. Ten sam argument działa dla dowolnego wiersza.
Podobne zliczanie pojawia się w indyjskiej prozodii. Liczenie rytmów zbudowanych z sylab krótkich (jeden takt) i długich (dwa takty) daje 1, 2, 3, 5, 8, 13… — ciąg omawiany przez Virahankę, a później przez Hemachandrę około 1150 roku, na długo przed Liber Abaci Fibonacciego z 1202 roku.
Zadanie Sun Zi o resztach
Zadanie · Sunzi Suanjing
Jest pewna nieznana liczba rzeczy. Liczone po trzy, zostają dwie. Liczone po pięć, zostają trzy. Liczone po siedem, zostają dwie. Ile jest tych rzeczy?
Musisz sprawdzać liczby jedna po drugiej, aż wszystkie trzy warunki będą spełnione.
Najpierw połącz warunki, które mają tę samą resztę; przeszukiwanie zmniejszy się do kilku kandydatów.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Reszta 2 z dzielenia przez 3 i przez 7 oznacza, że liczba jest o 2 większa od wielokrotności 21. Kandydaci: 2, 23, 44, 65, 86, 107…
Krok 2. Która z nich daje resztę 3 z dzielenia przez 5? 2 daje resztę 2; 23 daje resztę 3. Zatem 23 spełnia warunki.
Krok 3 — ograniczenie. 23 to najmniejsze rozwiązanie, a nie jedyne. Dodanie 105 (= 3 × 5 × 7) zachowuje wszystkie reszty, więc pasują także 128, 233 i kolejne. Tekst Sun Zi podaje 23.
Kontekst źródłowy
Dzieło Sunzi Suanjing („Podręcznik matematyczny mistrza Suna”) datuje się zwykle na III–V wiek n.e. Ogólną metodę opracował później Qin Jiushao w swoim dziele Shushu Jiuzhang z 1247 roku.
Ciąg mówi, co się wydarzyło. Uzasadnienie mówi, co musi się wydarzyć dalej.
Chcesz zobaczyć, jak wzorce zamieniają się w wybory? Przejdź do logiki strategicznej albo przeczytaj, skąd pochodzą te źródła, na stronie o tradycjach zagadek.