Zacznij od założenia
Oto kuszące założenie: wpisanie liczb od 1 do 9 w kwadrat 3×3 tak, by każdy wiersz, kolumna i przekątna miały tę samą sumę, musi wymagać długiej serii prób i błędów. Nie wymaga. Jedna mała zmiana w rozumowaniu — policzenie, ile razy używana jest środkowa komórka — ustala środek jednym wierszem rachunku. To nawyk, na którym zbudowana jest ta strona.
Cztery ścieżki
Każdy temat zaczyna się od przekonania, które wydaje się oczywiście prawdziwe, a następnie je testuje. Spotkasz wzorce, które się załamują, gry nagradzające patrzenie wstecz, przypadek, który nie chce się „wyrównać”, oraz łamigłówki, których sens zależy od miejsca i czasu powstania.
Dlaczego po 1, 2, 4, 8, 16 nie następuje 32 oraz jak procedura Kaprekara i trójkąt Yang Hui nagradzają sprawdzanie reguły.
Znajdź regułę →
Gry z zabieraniem, go, shogi, xiangqi i gry siewne mancala — oraz dlaczego najsilniejszy ruch często pochodzi z końcówki gry.
Oceń ruch →
Dwie kostki, wspólne urodziny, łodyżki krwawnika z I Ching i słynna łamigłówka z drzwiami — policzone uważnie, zanim intuicja zabierze głos.
Policz to krok po kroku →
Tablice sangaku w Japonii, zagadka reszt Sunzi w Chinach, wierszowane zadania Bhaskary II w Indiach i kwadraty Choi Seok-jeonga w Korei.
Czytaj w kontekście →Przykład z rozwiązaniem
Zadanie
Wpisz każdą z liczb od 1 do 9 dokładnie raz w siatce 3×3 tak, aby wszystkie trzy wiersze, wszystkie trzy kolumny i obie przekątne dawały tę samą sumę. Jaka liczba musi znaleźć się w środku?
W środku mogłyby stać różne liczby; sprawdzasz, która, próbując kolejnych ustawień.
W środku może stać tylko 5, i możesz to udowodnić, zanim położysz choćby jeden inny kafelek.
Krok 1 — znajdź sumę w linii. Liczby od 1 do 9 dają razem 45. Trzy wiersze wykorzystują każdą liczbę dokładnie raz, więc każdy wiersz sumuje się do 45 ÷ 3 = 15.
Krok 2 — policz środek. Przez środek przechodzą cztery linie: środkowy wiersz, środkowa kolumna i obie przekątne. Razem te cztery linie obejmują wszystkie dziewięć pól, ale środek jest liczony cztery razy zamiast raz.
Krok 3 — zapisz to jako równanie. Cztery linie sumują się do 4 × 15 = 60. Dają też 45 + 3 × (środek). Zatem 45 + 3c = 60, czyli c = 5.
Krok 4 — sprawdź granicę. Przy 5 w środku każda para przeciwległych pól musi dawać 10: (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). Próba nieparzystej liczby w rogu szybko zawodzi, więc w rogach stoją liczby parzyste. Z dokładnością do obrotów i odbić istnieje dokładnie jeden kwadrat, pokazany poniżej — łącznie osiem orientacji.
| 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Wersja tekstowa: górny wiersz 4, 9, 2; środkowy wiersz 3, 5, 7; dolny wiersz 8, 1, 6. Każdy wiersz, kolumna i przekątna sumuje się do 15.
Kontekst źródłowy
Ten układ znany jest w Chinach jako Lo Shu, a według legendy wiąże się z rzeką Luo i władcą Yu, który okiełznał powodzie. Kwadrat liczbowy jest wyraźnie opisany w późniejszych komentarzach, a matematyk Yang Hui omawiał większe kwadraty magiczne w swoim dziele z 1275 roku Xugu Zhaiqi Suanfa.
Historia, z rozwagą
„Azjatyckie łamigłówki” to nie jedna tradycja. To wiele tradycji, tworzonych przez konkretnych ludzi dla konkretnych odbiorców. Oto kilka przykładów, do których wracamy na stronie:
Malowane drewniane tablice z zadaniami geometrycznymi wieszano w świątyniach shintō i buddyjskich, często przez lokalnych amatorów, między XVII a XIX wiekiem.
Kontekst źródłowy
Fukagawa i Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, 2008.
Sunzi Suanjing pyta o liczbę, która przy dzieleniu przez 3, 5 i 7 daje reszty 2, 3 i 2 — zalążek tego, co dziś nazywa się chińskim twierdzeniem o resztach.
Kontekst źródłowy
Omówione na naszej stronie o wzorcach liczbowych.
Tekst matematyczny napisany w dużej części wierszem, z zadaniami arytmetycznymi i kombinatorycznymi kierowanymi do słuchacza, łączący rachunki z opowieścią.
Kontekst źródłowy
Zobacz stronę o tradycjach, aby poznać szerszy kontekst.
Uczony-urzędnik z dynastii Joseon opisał układ 9×9, dziś uznawany za parę ortogonalnych kwadratów łacińskich, na dekady przed tym, jak Leonhard Euler zajął się tą ideą.
Kontekst źródłowy
Z jego traktatu Gusuryak.
Pomoc w rozumowaniu
Nie. Przecinanie koła cięciwami przez 1, 2, 3, 4, 5 punktów daje 1, 2, 4, 8, 16 obszarów — a dla sześciu punktów 31, nie 32. Wzorzec staje się regułą dopiero wtedy, gdy potrafisz wyjaśnić, dlaczego musi się utrzymać.
Dla uczciwej monety — nie. Każdy rzut jest niezależny, więc następny nadal ma szansę 1 do 2. Wiara w coś innego to błąd hazardzisty.
Wcale. Większość naszych przykładów wykorzystuje dodawanie, mnożenie i staranne liczenie. Ważniejsze jest zapisywanie każdego kroku.
Twoja kolej
Utknąłeś na jednym kroku, zauważyłeś twierdzenie, w które nie wierzysz, albo znasz tradycję łamigłówek, której jeszcze nie opisaliśmy? Napisz, co przyjąłeś za pewnik i w którym miejscu rozumowanie się urwało. Czytamy każdą wiadomość, a gdy pytanie stanie się podstawą nowego opracowania, wymieniamy czytelnika z nazwiska.