Dwie kostki: sumy nie są równie prawdopodobne
Sumy od 2 do 12 to jedenaście wyników, więc każda ma szansę 1/11.
Istnieje 36 równie prawdopodobnych uporządkowanych rzutów. Suma 7 wypada na sześć sposobów; 2 i 12 – po jednym sposobie.
Błąd polega na liczeniu sum zamiast rzutów. Traktuj kostki jako rozróżnialne – jedna czerwona, jedna biała – a każda z 36 par (6 × 6 = 36) jest równie prawdopodobna.
| Suma | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sposoby | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Gry kostkowe szeroko rozchodziły się po Azji: japońskie gry planszowe sugoroku i indyjski moksha patam (przodek węży i drabin) opierają się na ruchach wyznaczanych rzutem. Każdy, kto projektuje taką planszę, świadomie lub nie, kształtuje te częstości.
Problem urodzin
Zadanie
Ilu ludzi musi być w pokoju, by szansa, że dwoje z nich ma urodziny tego samego dnia, była większa niż 50%? (Pomijamy 29 lutego i zakładamy, że wszystkie 365 dni są równie prawdopodobne.)
Około 183 – czyli połowa z 365.
23 osoby. Szansa wynosi około 50.7%.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1 – policz dopełnienie. Łatwiej znaleźć szansę, że wszystkie urodziny są różne.
Krok 2 – buduj osoba po osobie. Druga osoba unika pierwszej z szansą 364/365, trzecia unika obu z szansą 363/365 i tak dalej.
Krok 3 – pomnóż. Dla 23 osób: (365 × 364 × … × 343) ÷ 36523 ≈ 0.493. Zatem szansa na co najmniej jedną zgodność wynosi około 1 − 0.493 = 0.507.
Dlaczego intuicja zawodzi. Wyobrażamy sobie porównywanie siebie z innymi (22 porównania). Ale liczy się każda para: 23 osoby tworzą C(23, 2) = 253 pary.
Błąd hazardzisty
Po pięciu orłach z rzędu wielu ludziom wydaje się, że reszka jest „na czasie”. Dla uczciwej monety kolejny rzut nadal wynosi 1/2. Moneta nie ma pamięci. Prawdą jest, że przy wielu rzutach udział orłów dąży do 1/2 – nie dlatego, że reszka dogania, lecz dlatego, że kilka wczesnych serii rozmywa się w tysiącach późniejszych rzutów.
Sprawdź to założenie, licząc: spośród 64 równie prawdopodobnych ciągów sześciu rzutów dokładnie 32 kończą się orłem, a 32 reszką – w tym wśród tych, które zaczynają się od pięciu orłów (OOOOOO i OOOOOR, po jednym).
Trzy drzwi
Zadanie
Nagroda znajduje się za jednymi z trzech drzwi. Wybierasz jedne. Prowadzący, który wie, gdzie jest nagroda, otwiera inne drzwi, za którymi nic nie ma, i proponuje zmianę wyboru. Czy warto zmienić?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Twój pierwszy wybór jest trafny z szansą 1/3. Działanie prowadzącego tego nie zmienia: zawsze może otworzyć puste drzwi. Zatem „zostań” wygrywa w 1/3 przypadków, a „zmień” w pozostałych 2/3. Wypisanie przypadków czyni to konkretnym: jeśli nagroda jest za drzwiami A i wybierzesz A, zmiana przegrywa; jeśli wybierzesz B lub C, prowadzący musi otworzyć drugie puste drzwi, a zmiana wygrywa. Dwa z trzech przypadków sprzyjają zmianie.
Test granic: gdyby prowadzący otworzył losowo wybrane drzwi i przypadkiem były puste, zmiana wygrywałaby tylko w 1/2. Wiedza prowadzącego jest częścią problemu.
I Ching: wczesne wyliczenie i nierówne szanse
Yijing (I Ching, „Księga przemian”) ze starożytnych Chin porządkuje 64 heksagramy, z których każdy jest stosem sześciu linii, przerwanych lub ciągłych. To pełne wyliczenie 26 = 64 możliwości. W 1703 roku Gottfried Leibniz, po korespondencji z jezuitą Joachimem Bouvetem, zauważył jego związek z liczbami binarnymi.
Tradycyjna metoda łodyżek krwawnika do generowania linii to dobre ćwiczenie z prawdopodobieństwa. Jej cztery wyniki nie są równie prawdopodobne:
| Linia | Łodyżki krwawnika | Trzy monety |
|---|---|---|
| Stary yin (zmienna) | 1/16 | 1/8 |
| Młody yang | 5/16 | 3/8 |
| Młody yin | 7/16 | 3/8 |
| Stary yang (zmienna) | 3/16 | 1/8 |
Założenie, że „obie metody są równoważne”, nie wytrzymuje liczenia. Każda daje ogółem yin i yang z szansą 1/2, ale linie zmienne się różnią. Dwie procedury o tym samym ogólnym wyniku mogą jednak rozkładać szanse inaczej.
Kontekst źródłowy
Nowoczesną teorię prawdopodobieństwa zwykle datuje się na listy Pascala i Fermata z 1654 roku. Tradycje liczenia w Chinach i Indiach, takie jak trójkąt arytmetyczny, pojawiły się wcześniej, ale służyły innym celom.