Két kocka: az összegek nem egyformán valószínűek
A 2 és 12 közötti összegek tizenegy kimenetelt jelentenek, így mindegyiknek 1/11 az esélye.
36 egyformán valószínű dobás van sorrendben. A 7-es összeg hatféleképpen jön ki, a 2 és a 12 pedig egyféleképpen.
A hiba az, hogy összegeket számolunk dobások helyett. Tekintsük a kockákat megkülönböztethetőnek – egy piros, egy fehér –, és akkor a 6 × 6 = 36 pár mindegyike egyformán valószínű.
| Összeg | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Esetek | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
A kockajátékok szerte Ázsiában elterjedtek: Japán szugoroku táblajátékai és India moksha patam (a kígyók és létrák őse) egyaránt a dobott lépésekre épülnek. Aki ilyen táblát tervez, tudva vagy nem tudva, ezeket a gyakoriságokat alakítja.
A születésnapi probléma
Feladat
Hány embernek kell egy szobában lennie ahhoz, hogy 50%-nál nagyobb legyen az esély arra, hogy kettőnek ugyanaz a születésnapja? (A február 29-et figyelmen kívül hagyjuk, és feltételezzük, hogy mind a 365 nap egyformán valószínű.)
Körülbelül 183 – a 365 fele.
23 ember. Az esély körülbelül 50.7%.
Mutassa meg a kidolgozott megoldást
1. lépés – számoljuk meg a komplementert. Könnyebb megtalálni annak az esélyét, hogy mindenki születésnapja különbözik.
2. lépés – építsük fel személyenként. A második személy 364/365 eséllyel kerüli el az elsőét, a harmadik 363/365 eséllyel mindkettőt, és így tovább.
3. lépés – szorozzunk. 23 főnél: (365 × 364 × … × 343) ÷ 36523 ≈ 0.493. Tehát legalább egy egyezés esélye körülbelül 1 − 0.493 = 0.507.
Miért bukik meg a megérzés. Magunkat másokkal összehasonlítva képzeljük el (22 összehasonlítás). Pedig minden pár számít: 23 ember C(23, 2) = 253 párt alkot.
A szerencsejátékos tévedése
Öt fej egymás után után sokan úgy érzik, hogy az írás „esedékes”. Szabályos érme esetén a következő dobás valószínűsége továbbra is 1/2. Az érmének nincs emlékezete. Igaz viszont, hogy sok dobás után a fejek aránya 1/2 felé tart – nem azért, mert az írás utolérné, hanem mert a korai sorozatokat több ezer későbbi dobás hígítja fel.
A feltevést számolással ellenőrizhetjük: a hat dobásból álló 64 egyformán valószínű sorozat közül pontosan 32 végződik fejjel és 32 írással, köztük azokban, amelyek öt fejjel kezdődnek (FFFFFF és FFFFFÍ, egy-egy).
Három ajtó
Feladat
A nyeremény három ajtó egyike mögött van. Kiválasztunk egyet. A műsorvezető, aki tudja, hol van a nyeremény, kinyit egy másik ajtót, amely mögött nincs semmi, és felajánlja a váltás lehetőségét. Érdemes váltani?
Mutassa meg a kidolgozott megoldást
Az első választásunk 1/3 eséllyel helyes. A műsorvezető lépése ezen nem változtat: mindig ki tud nyitni egy üres ajtót. Tehát a „maradok” 1/3 arányban nyer, a „váltok” a fennmaradó 2/3 arányban. Az esetek felsorolása szemlélteti: ha a nyeremény az A ajtó mögött van, és az A-t választjuk, a váltás veszít; ha B-t vagy C-t választjuk, a műsorvezetőnek a másik üres ajtót kell kinyitnia, és a váltás nyer. Három esetből kettő a váltás mellett szól.
Határeset-vizsgálat: ha a műsorvezető véletlenszerűen nyitott volna ki egy ajtót, és az éppen üres lett volna, a váltás csak 1/2 eséllyel nyerne. A műsorvezető tudása a feladvány része.
Az I Ching: korai felsorolás és egyenetlen esélyek
A Yijing (I Ching, „A változások könyve”) az ókori Kínából származik, és 64 hexagrammát rendez el. Mindegyik hat vonalból áll, amelyek vagy megtörtek, vagy egybefüggők. Ez a 26 = 64 lehetőség teljes felsorolása. 1703-ban Gottfried Leibniz, a jezsuita Joachim Bouvet-vel folytatott levelezését követően, felismerte a kapcsolatot a kettes számrendszerrel.
A hagyományos cickafarkszárral történő vonalgenerálás jó valószínűségi gyakorlat. Négy kimenetele nem egyformán valószínű:
| Vonal | Cickafarkszárak | Három érme |
|---|---|---|
| Öreg yin (változó) | 1/16 | 1/8 |
| Fiatal yang | 5/16 | 3/8 |
| Fiatal yin | 7/16 | 3/8 |
| Öreg yang (változó) | 3/16 | 1/8 |
Az a feltevés, hogy „a két módszer egyenértékű”, a számolásnál megbukik. Mindkettő összességében 1/2 eséllyel ad yint és yangot, de a változó vonalak eltérnek. Két eljárás, amelynek ugyanaz a főeredménye, még eltérően oszthatja el az esélyt.
Forráskörnyezet
A modern valószínűség-számítás szokásos kezdőpontja Pascal és Fermat 1654-es levelezése. A kínai és indiai számolási hagyományok, mint például az aritmetikai háromszög, korábbiak, de más célt szolgáltak.