Δύο ζάρια: τα αθροίσματα δεν είναι ισοπίθανα
Τα αθροίσματα από 2 έως 12 είναι έντεκα αποτελέσματα, άρα το καθένα έχει πιθανότητα 1/11.
Υπάρχουν 36 ισοπίθανες διατεταγμένες ρίψεις. Το άθροισμα 7 προκύπτει με έξι τρόπους· το 2 και το 12 προκύπτουν με έναν τρόπο το καθένα.
Το λάθος είναι να μετράτε αθροίσματα αντί για ρίψεις. Θεωρήστε τα ζάρια διακριτά — ένα κόκκινο, ένα λευκό — και κάθε ένα από τα 6 × 6 = 36 ζεύγη είναι ισοπίθανο.
| Άθροισμα | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Τρόποι | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Τα παιχνίδια με ζάρια διαδόθηκαν ευρέως στην Ασία: τα επιτραπέζια sugoroku της Ιαπωνίας και το moksha patam της Ινδίας (πρόγονος του φιδιού και της σκάλας) βασίζονται και τα δύο σε κινήσεις με ζάρια. Όποιος σχεδιάζει τέτοιο ταμπλό διαμορφώνει, συνειδητά ή όχι, αυτές τις συχνότητες.
Το πρόβλημα των γενεθλίων
Πρόβλημα
Πόσοι άνθρωποι πρέπει να βρίσκονται σε ένα δωμάτιο ώστε να υπάρχει πιθανότητα μεγαλύτερη από 50% δύο να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; (Αγνοήστε την 29η Φεβρουαρίου και θεωρήστε ότι και οι 365 ημέρες είναι ισοπίθανες.)
Περίπου 183 — το μισό του 365.
23 άνθρωποι. Η πιθανότητα είναι περίπου 50.7%.
Εμφάνιση της λυμένης άσκησης
Βήμα 1 — μετρήστε το συμπλήρωμα. Είναι ευκολότερο να βρείτε την πιθανότητα να διαφέρουν όλα τα γενέθλια.
Βήμα 2 — χτίστε το άτομο προς άτομο. Το δεύτερο άτομο αποφεύγει το πρώτο με πιθανότητα 364/365, το τρίτο αποφεύγει και τους δύο με 363/365, και ούτω καθεξής.
Βήμα 3 — πολλαπλασιάστε. Για 23 άτομα: (365 × 364 × … × 343) ÷ 36523 ≈ 0.493. Άρα η πιθανότητα τουλάχιστον μιας συμπτώσεως είναι περίπου 1 − 0.493 = 0.507.
Γιατί αποτυγχάνει η διαίσθηση. Φανταζόμαστε ότι συγκρινόμαστε με τους άλλους (22 συγκρίσεις). Όμως μετράει κάθε ζεύγος: 23 άτομα σχηματίζουν C(23, 2) = 253 ζεύγη.
Το σφάλμα του παίκτη
Μετά από πέντε κεφαλές στη σειρά, πολλοί πιστεύουν ότι τα γράμματα «οφείλονται». Για ένα δίκαιο νόμισμα η επόμενη ρίψη εξακολουθεί να είναι 1/2. Το νόμισμα δεν έχει μνήμη. Αυτό που ισχύει είναι ότι σε πολλές ρίψεις το ποσοστό των κεφαλών τείνει προς το 1/2 — όχι επειδή τα γράμματα «προλαβαίνουν», αλλά επειδή μερικές αρχικές σειρές αραιώνονται από χιλιάδες μεταγενέστερες ρίψεις.
Ελέγξτε την υπόθεση με καταμέτρηση: από τις 64 ισοπίθανες ακολουθίες έξι ρίψεων, ακριβώς 32 τελειώνουν σε κεφαλή και 32 σε γράμματα — μεταξύ αυτών και εκείνες που αρχίζουν με πέντε κεφαλές (HHHHHH και HHHHHT, από μία η καθεμία).
Τρεις πόρτες
Πρόβλημα
Ένα έπαθλο βρίσκεται πίσω από μία από τρεις πόρτες. Εσείς επιλέγετε μία. Ο παρουσιαστής, που γνωρίζει πού είναι το έπαθλο, ανοίγει μια διαφορετική πόρτα που δεν έχει τίποτα και προτείνει αλλαγή. Πρέπει να αλλάξετε;
Εμφάνιση της λυμένης άσκησης
Η αρχική σας επιλογή είναι σωστή με πιθανότητα 1/3. Η ενέργεια του παρουσιαστή δεν το αλλάζει ποτέ: μπορεί πάντα να ανοίξει μια άδεια πόρτα. Άρα το «μένω» κερδίζει στο 1/3 των περιπτώσεων και το «αλλάζω» κερδίζει τις υπόλοιπες 2/3. Η καταγραφή των περιπτώσεων το κάνει συγκεκριμένο: αν το έπαθλο είναι πίσω από την πόρτα Α και επιλέξατε Α, η αλλαγή χάνει· αν επιλέξατε Β ή Γ, ο παρουσιαστής πρέπει να ανοίξει την άλλη άδεια πόρτα, και η αλλαγή κερδίζει. Οι δύο στις τρεις περιπτώσεις ευνοούν την αλλαγή.
Οριακός έλεγχος: αν ο παρουσιαστής άνοιγε μια πόρτα τυχαία και αυτή έτυχε να είναι άδεια, η αλλαγή θα κέρδιζε μόνο 1/2. Η γνώση του παρουσιαστή αποτελεί μέρος του προβλήματος.
Το I Ching: πρώιμη απαρίθμηση και άνισες πιθανότητες
Το Yijing (I Ching, «Βιβλίο των Μεταβολών») από την αρχαία Κίνα οργανώνει 64 εξαγράμματα, καθένα από τα οποία είναι στοίβα έξι γραμμών, σπασμένων ή ακέραιων. Αυτή είναι μια πλήρης απαρίθμηση 26 = 64 δυνατοτήτων. Το 1703 ο Gottfried Leibniz σημείωσε τη σχέση της με τους δυαδικούς αριθμούς, έπειτα από αλληλογραφία με τον Ιησουίτη Joachim Bouvet.
Η παραδοσιακή μέθοδος με στελέχη αχιλλείας για τη δημιουργία γραμμών είναι εξαιρετική άσκηση πιθανοτήτων. Τα τέσσερα αποτελέσματά της δεν είναι ισοπίθανα:
| Γραμμή | Στελέχη αχιλλείας | Τρία νομίσματα |
|---|---|---|
| Παλιό γιν (μεταβαλλόμενο) | 1/16 | 1/8 |
| Νέο γιανγκ | 5/16 | 3/8 |
| Νέο γιν | 7/16 | 3/8 |
| Παλιό γιανγκ (μεταβαλλόμενο) | 3/16 | 1/8 |
Η υπόθεση ότι «και οι δύο μέθοδοι είναι ισοδύναμες» αποτυγχάνει στην καταμέτρηση. Και οι δύο δίνουν γιν και γιανγκ συνολικά με πιθανότητα 1/2, αλλά οι μεταβαλλόμενες γραμμές διαφέρουν. Δύο διαδικασίες με το ίδιο συνολικό αποτέλεσμα μπορούν ακόμη να κατανέμουν την πιθανότητα διαφορετικά.
Ιστορικό πλαίσιο
Η σύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων συνήθως χρονολογείται στις επιστολές του 1654 μεταξύ Pascal και Fermat. Οι παραδόσεις καταμέτρησης στην Κίνα και την Ινδία, όπως το αριθμητικό τρίγωνο, προηγήθηκαν, αλλά εξυπηρετούσαν διαφορετικούς σκοπούς.