Zwei Würfel: Augensummen sind nicht gleich wahrscheinlich
Die Summen von 2 bis 12 ergeben elf Ergebnisse, also hat jede die Wahrscheinlichkeit 1/11.
Es gibt 36 gleich wahrscheinliche geordnete Würfe. Eine Summe von 7 entsteht auf sechs Arten; 2 und 12 entstehen jeweils auf eine Art.
Der Fehler besteht darin, Summen statt Würfe zu zählen. Behandeln Sie die Würfel als unterscheidbar – einer rot, einer weiß –, dann ist jedes der 6 × 6 = 36 Paare gleich wahrscheinlich.
| Summe | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Möglichkeiten | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Würfelspiele verbreiteten sich in ganz Asien: Die japanischen Sugoroku-Brettspiele und das indische Moksha Patam (der Vorläufer von Schlangen und Leitern) beruhen beide auf gewürfelten Zügen. Wer ein solches Spielfeld gestaltet, bestimmt – bewusst oder nicht – diese Häufigkeiten mit.
Das Geburtstagsproblem
Aufgabe
Wie viele Personen müssen in einem Raum sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am selben Tag Geburtstag haben, über 50 % liegt? (Der 29. Februar bleibt unberücksichtigt, und alle 365 Tage gelten als gleich wahrscheinlich.)
Etwa 183 – die Hälfte von 365.
23 Personen. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei etwa 50,7 %.
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Schritt 1 – das Gegenereignis zählen. Leichter ist es, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass alle Geburtstage verschieden sind.
Schritt 2 – Person für Person aufbauen. Die zweite Person vermeidet den ersten Geburtstag mit Wahrscheinlichkeit 364/365, die dritte vermeidet beide mit 363/365, und so weiter.
Schritt 3 – multiplizieren. Für 23 Personen: (365 × 364 × … × 343) ÷ 36523 ≈ 0,493. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Übereinstimmung beträgt also etwa 1 − 0,493 = 0,507.
Warum die Intuition versagt. Wir stellen uns vor, uns mit anderen zu vergleichen (22 Vergleiche). Doch jedes Paar zählt: 23 Personen bilden C(23, 2) = 253 Paare.
Der Spielerfehlschluss
Nach fünfmal Kopf hintereinander meinen viele, Zahl sei „überfällig“. Bei einer fairen Münze bleibt der nächste Wurf jedoch bei 1/2. Die Münze hat kein Gedächtnis. Wahr ist: Bei vielen Würfen nähert sich der Anteil von Kopf dem Wert 1/2 an – nicht weil Zahl aufholt, sondern weil wenige frühe Serien von späteren Tausenden Würfen verdünnt werden.
Prüfen Sie die Annahme durch Zählen: Von den 64 gleich wahrscheinlichen Folgen aus sechs Würfen enden genau 32 mit Kopf und 32 mit Zahl – darunter auch jene, die mit fünfmal Kopf beginnen (KKKKKK und KKKKKZ, je eine).
Drei Türen
Aufgabe
Hinter einer von drei Türen steht ein Preis. Sie wählen eine. Der Moderator, der weiß, wo der Preis steht, öffnet eine andere Tür, hinter der nichts ist, und bietet Ihnen einen Wechsel an. Sollten Sie wechseln?
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Ihre erste Wahl ist mit Wahrscheinlichkeit 1/3 richtig. Das Handeln des Moderators ändert daran nie etwas: Er kann immer eine leere Tür öffnen. Also gewinnt „Bleiben“ in 1/3 der Fälle und „Wechseln“ die übrigen 2/3. Das Auflisten der Fälle macht es anschaulich: Liegt der Preis hinter Tür A und wählen Sie A, verlieren Sie beim Wechseln; wählen Sie B oder C, muss der Moderator die andere leere Tür öffnen, und Wechseln gewinnt. Zwei von drei Fällen sprechen für den Wechsel.
Grenzfall-Test: Würde der Moderator zufällig eine Tür öffnen und es wäre zufällig eine leere, würde Wechseln nur 1/2 gewinnen. Das Wissen des Moderators ist Teil des Problems.
Das I Ging: frühes Aufzählen und ungleiche Chancen
Das Yijing (I Ging, „Buch der Wandlungen“) aus dem alten China ordnet 64 Hexagramme, jeweils ein Stapel aus sechs Linien, die entweder unterbrochen oder durchgezogen sind. Das ist eine vollständige Auflistung von 26 = 64 Möglichkeiten. 1703 bemerkte Gottfried Leibniz nach einem Briefwechsel mit dem Jesuiten Joachim Bouvet den Zusammenhang mit Binärzahlen.
Die traditionelle Methode mit Schafgarbenstengeln zur Erzeugung der Linien ist eine schöne Übung in Wahrscheinlichkeit. Ihre vier Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich:
| Linie | Schafgarbenstengel | Drei Münzen |
|---|---|---|
| Altes Yin (wandelnd) | 1/16 | 1/8 |
| Junges Yang | 5/16 | 3/8 |
| Junges Yin | 7/16 | 3/8 |
| Altes Yang (wandelnd) | 3/16 | 1/8 |
Die Annahme, „beide Methoden sind gleichwertig“, scheitert am Zählen. Beide ergeben insgesamt Yin und Yang mit Wahrscheinlichkeit 1/2, doch die wandelnden Linien unterscheiden sich. Zwei Verfahren mit demselben Gesamtergebnis können die Wahrscheinlichkeiten also trotzdem unterschiedlich verteilen.
Quellenkontext
Die moderne Wahrscheinlichkeitstheorie wird meist auf den Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat von 1654 datiert. Zählende Traditionen in China und Indien, etwa das arithmetische Dreieck, gab es früher, sie dienten aber anderen Zwecken.