To terninger: summene er ikke like sannsynlige
Summene fra 2 til 12 er elleve utfall, så hver har sannsynlighet 1/11.
Det finnes 36 like sannsynlige ordnede kast. En sum på 7 oppstår på seks måter, mens 2 og 12 oppstår på én måte hver.
Feilen er å telle summer i stedet for kast. Behandle terningene som å kunne skilles fra hverandre, én rød og én hvit, så er hvert av de 6 × 6 = 36 parene like sannsynlig.
| Sum | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Måter | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Terningspill var utbredt i Asia: Japans sugoroku-brettspill og Indias moksha patam (forløperen til stiger og slanger) bygger begge på trillede trekk. Den som designer et slikt brett, former bevisst eller ubevisst disse frekvensene.
Bursdagsproblemet
Problem
Hvor mange personer må være i et rom før det er bedre enn 50 % sjanse for at to har felles bursdag? (Se bort fra 29. februar og anta at alle 365 dager er like sannsynlige.)
Omtrent 183, halvparten av 365.
23 personer. Sjansen er omtrent 50.7 %.
Vis den utregnede løsningen
Trinn 1: tell komplementet. Det er enklere å finne sjansen for at alle bursdagene er forskjellige.
Trinn 2: bygg det person for person. Den andre personen unngår den første med sannsynlighet 364/365, den tredje unngår begge med 363/365, og så videre.
Trinn 3: multipliser. For 23 personer: (365 × 364 × … × 343) ÷ 36523 ≈ 0.493. Sjansen for minst ett sammenfall er altså omtrent 1 − 0.493 = 0.507.
Hvorfor intuisjonen svikter. Vi forestiller oss at vi sammenligner oss med andre (22 sammenligninger). Men hvert par teller: 23 personer danner C(23, 2) = 253 par.
Spillerfeilslutningen
Etter fem kron på rad mener mange at mynt er «på tur». For en rettferdig mynt er sjansen for neste kast fortsatt 1/2. Mynten har ikke hukommelse. Det som er sant, er at over mange kast nærmer andelen kron seg 1/2 — ikke fordi mynt tar igjen, men fordi noen få tidlige serier fortynnes av tusenvis av senere kast.
Test antakelsen ved å telle: av de 64 like sannsynlige sekvensene med seks kast ender nøyaktig 32 med kron og 32 med mynt, inkludert blant de som begynner med fem kron (KKKKKK og KKKKKM, én av hver).
Tre dører
Problem
En premie står bak en av tre dører. Du velger én. Verten, som vet hvor premien er, åpner en annen dør som viser ingenting, og tilbyr deg å bytte. Bør du bytte?
Vis den utregnede løsningen
Ditt første valg er riktig med sannsynlighet 1/3. Vertens handling endrer aldri det: han kan alltid åpne en tom dør. Så «behold» vinner 1/3 av gangene, og «bytt» vinner de resterende 2/3. Å liste opp tilfellene gjør det konkret: Hvis premien står bak dør A og du velger A, taper du ved å bytte. Hvis du velger B eller C, må verten åpne den andre tomme døren, og da vinner du ved å bytte. To av tre tilfeller favoriserer altså å bytte.
Grensetest: Hvis verten hadde åpnet en dør tilfeldig, og den tilfeldigvis var tom, ville bytte bare vinne 1/2. Vertens kunnskap er en del av problemet.
I Ching: tidlig oppregning og ujevne odds
Yijing (I Ching, «Endringenes bok») fra det gamle Kina organiserer 64 heksagrammer, hver en stabel av seks linjer som enten er brutt eller ubrutt. Dette er en fullstendig oppregning av 26 = 64 muligheter. I 1703 bemerket Gottfried Leibniz sammenhengen med binære tall etter korrespondanse med jesuitten Joachim Bouvet.
Den tradisjonelle metoden med yarrow-stengler for å generere linjer er en god sannsynlighetsøvelse. De fire utfallene er ikke like sannsynlige:
| Linje | Yarrow-stengler | Tre mynter |
|---|---|---|
| Gammel yin (skiftende) | 1/16 | 1/8 |
| Ung yang | 5/16 | 3/8 |
| Ung yin | 7/16 | 3/8 |
| Gammel yang (skiftende) | 3/16 | 1/8 |
Antakelsen om at «begge metodene er likeverdige» faller på telling. Begge gir yin og yang samlet med sannsynlighet 1/2, men de skiftende linjene er ulike. To prosedyrer med samme hovedresultat kan likevel fordele sannsynligheten forskjellig.
Kildekontekst
Den moderne sannsynlighetsteorien dateres vanligvis til brevvekslingen mellom Pascal og Fermat i 1654. Tellingstradisjoner i Kina og India, som den aritmetiske trekanten, kom tidligere, men tjente andre formål.