Kahden nopan summat eivät ole yhtä todennäköisiä
Summat 2:sta 12:een ovat yksitoista lopputulosta, joten kunkin todennäköisyys on 1/11.
Yhtä todennäköisiä järjestettyjä heittoja on 36. Summa 7 syntyy kuudella tavalla, 2 ja 12 kumpikin yhdellä tavalla.
Virhe on laskea summia eikä heittoja. Käsittele nopat erotettavina, toinen punainen ja toinen valkoinen, jolloin jokainen 6 × 6 = 36 parista on yhtä todennäköinen.
| Summa | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tavat | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Noppapelit levisivät laajalti Aasiassa: Japanin sugoroku-lautapelit ja Intian moksha patam (käärmeiden ja tikkaiden esi-isä) perustuvat molemmat heitettyihin siirtoihin. Jokainen, joka suunnittelee tällaisen pelilaudan, muovaa tietoisesti tai tiedostamattaan näitä todennäköisyyksiä.
Syntymäpäiväongelma
Tehtävä
Kuinka monta ihmistä huoneessa pitää olla, jotta kahdella on yli 50 %:n todennäköisyys jakaa sama syntymäpäivä? (Jätä 29. helmikuu huomiotta ja oleta, että kaikki 365 päivää ovat yhtä todennäköisiä.)
Noin 183, eli puolet 365:stä.
23 henkilöä. Todennäköisyys on noin 50,7 %.
Näytä ratkaisu vaihe vaiheelta
Vaihe 1 — laske vastatapaus. On helpompi laskea todennäköisyys, että kaikki syntymäpäivät ovat erilaisia.
Vaihe 2 — rakenna henkilö kerrallaan. Toinen henkilö välttää ensimmäisen todennäköisyydellä 364/365, kolmas välttää molemmat todennäköisyydellä 363/365 ja niin edelleen.
Vaihe 3 — kerro. 23 henkilölle: (365 × 364 × … × 343) ÷ 36523 ≈ 0,493. Vähintään yhden yhteneväisyyden todennäköisyys on siis noin 1 − 0,493 = 0,507.
Miksi intuitio pettää. Kuvittelemme vertaavamme itseämme muihin (22 vertailua). Mutta jokainen pari lasketaan: 23 henkilöä muodostaa C(23, 2) = 253 paria.
Pelurin harhapäätelmä
Viiden peräkkäisen kruunan jälkeen monien mielestä klaava on ”aika”. Reilulle kolikolle seuraavan heiton todennäköisyys on kuitenkin edelleen 1/2. Kolikolla ei ole muistia. Totta on, että monen heiton jälkeen kruunien osuus lähestyy 1/2:ta, mutta ei siksi, että klaava saavuttaisi kruunat, vaan siksi, että varhaiset sarjat laimenevat tuhansien myöhempien heittojen joukossa.
Testaa oletusta laskemalla: 64 yhtä todennäköisestä kuuden heiton jonosta täsmälleen 32 päättyy kruunaan ja 32 klaavaan, myös niistä, jotka alkavat viidellä kruunalla (HHHHHH ja HHHHHT, kumpikin yksi).
Kolme ovea
Tehtävä
Palkinto on yhden kolmesta oven takana. Valitset yhden. Juontaja, joka tietää, missä palkinto on, avaa toisen oven, jonka takana ei ole mitään, ja tarjoaa mahdollisuuden vaihtaa. Kannattaako vaihtaa?
Näytä ratkaisu vaihe vaiheelta
Ensimmäinen valintasi on oikea todennäköisyydellä 1/3. Juontajan toiminta ei muuta tätä: hän voi aina avata tyhjän oven. Joten ”pysy” voittaa 1/3 ajasta ja ”vaihda” loput 2/3. Tapausten listaaminen tekee asian konkreettiseksi: jos palkinto on oven A takana ja valitset A:n, vaihtaminen häviää. Jos valitset B:n tai C:n, juontajan on avattava toinen tyhjä ovi ja vaihtaminen voittaa. Kolmesta tapauksesta kaksi suosii vaihtamista.
Rajatapaus: jos juontaja avaisi oven satunnaisesti ja se sattuisi olemaan tyhjä, vaihtaminen voittaisi vain 1/2 tapauksista. Juontajan tieto on osa tehtävää.
I Ching: varhainen luettelointi ja epätasaiset todennäköisyydet
Muinaisesta Kiinasta peräisin oleva Yijing (I Ching, ”Muutosten kirja”) järjestää 64 heksagrammia. Kukin on kuudesta päällekkäisestä viivasta koostuva pino, ja viiva on joko katkennut tai katkeamaton. Tämä on täydellinen luettelo 26 = 64 mahdollisuudesta. Vuonna 1703 Gottfried Leibniz huomasi sen yhteyden binäälilukuihin kirjeenvaihdon jälkeen jesuiitta Joachim Bouvet'n kanssa.
Perinteinen yarrow-varsimenetelmä viivojen muodostamiseksi on hyvä todennäköisyysharjoitus. Sen neljä lopputulosta eivät ole yhtä todennäköisiä:
| Viiva | Yarrow-varret | Kolme kolikkoa |
|---|---|---|
| Vanha yin (muuttuva) | 1/16 | 1/8 |
| Nuori yang | 5/16 | 3/8 |
| Nuori yin | 7/16 | 3/8 |
| Vanha yang (muuttuva) | 3/16 | 1/8 |
Oletus, että ”molemmat menetelmät ovat samanarvoisia”, kaatuu laskemiseen. Kumpikin antaa yinin ja yangin kokonaisuudessaan todennäköisyydellä 1/2, mutta muuttuvat viivat eroavat. Kaksi menettelyä, joilla on sama päätulos, voivat silti jakaa todennäköisyyden eri tavoin.
Lähdetausta
Modernin todennäköisyysteorian katsotaan yleensä alkaneen Pascalin ja Fermat'n vuoden 1654 kirjeenvaihdosta. Kiinan ja Intian laskentaperinteet, kuten aritmeettinen kolmio, olivat aiemmin, mutta niillä oli eri tarkoitukset.