A minta még nem szabály
Helyezzen pontokat egy kör kerületére, és kösse össze minden párjukat egyenes húrral. Számolja meg a köron belüli tartományokat. 1, 2, 3, 4 és 5 ponttal rendre 1, 2, 4, 8 és 16 tartományt kap. A duplázódás egyértelműnek látszik, ezért kézenfekvő feltételezés, hogy hat pont 32 tartományt ad.
A tartományok minden alkalommal duplázódnak, így hat pont 32 tartományt ad.
Hat pont (általános helyzetben) 31 tartományt ad. A duplázódás a kis számok véletlene volt.
Az ok megszámlálható. Minden, az elsőn túli tartományt vagy egy húr, vagy két húr metszéspontja hoz létre. n ponttal C(n, 2) húr és C(n, 4) metszéspont van, mert bármely négy pont pontosan egy metszéspontot határoz meg. Így a tartományok száma 1 + C(n, 2) + C(n, 4). Hat pontra ez 1 + 15 + 15 = 31. Ha már tudja, miért, a kettő hatványainak „mintája” elveszti a tekintélyét.
Ez az egész oldal munkamódszere: észrevesszük a szabályosságot, majd megkérdezzük, milyen mechanizmus kényszerítené ki, hogy folytatódjon.
Kaprekar-eljárás: minta, amelyet ellenőrzéssel igazolhat
1949-ben D. R. Kaprekar indiai tanár, aki a nasiki közelében fekvő Devlaliban dolgozott, egyszerű eljárást írt le. Vegyünk egy négyjegyű számot, amelynek számjegyei nem mind egyformák. Rendezze a számjegyeket csökkenő, majd növekvő sorrendbe, és vonja ki a kisebbet a nagyobbból. Ismételje meg.
Példa
Kiindulás 3524 → 5432 − 2345 = 3087 → 8730 − 0378 = 8352 → 8532 − 2358 = 6174 → 7641 − 1467 = 6174
Minden érvényes kezdőszám legfeljebb hét lépésen belül eléri a 6174-et, a 6174 pedig önmagára képződik le. A szabályt itt nem néhány esetből sejtjük: kevesebb mint 10 000 négyjegyű bemenet van, így az állítás kimerítően ellenőrizhető, és már sokszor ellenőrizték is.
Határainak vizsgálata tanulságos. Meg kell őrizni a vezető nullákat: 2111 esetén 2111 − 1112 = 0999, és a 9990 − 0999 számítással folytatjuk, nem a 999 − 999 számítással. Ha elhagyja a nullát, az eljárás összeomlik. Az azonos számjegyekből álló számok, például a 7777, azonnal 0000-t adnak, ezért ezeket kizárják.
Próbálja ki
A kevesebb számjegyű számokat vezető nullákkal egészítjük ki.
Jang Huj háromszöge és indiai megfelelője
A számtábla, amelyben minden elem a fölötte lévő két elem összege, gyakran Pascal-háromszögként ismert, Blaise Pascal 1654-es értekezése után. Korábbi változatai is léteznek. Kínában Jang Huj háromszögeként ismerik: Jang Huj 1261-ben nyomtatta ki, és a tizenegyedik századi Csia Hszien matematikusnak tulajdonította, aki gyökvonáshoz használta. Indiában a tizedik századi kommentátor, Halájudha a „Meru Prastara” (a Meru-hegy lépcsője) néven ismert elrendezést magyarázta, miközben a sokkal régebbi Pingala-munkát tárgyalta, amely a költői mértékek számlálásáról szól.
Minden sor összege kettő hatványa: 1, 2, 4, 8, 16. Ennek oka van. A n-edik sor azt számolja, hányféleképpen lehet kiválasztani elemeket n lehetőség közül, és minden lehetőség vagy kiválasztott, vagy nem, így összesen 2n lehetőség adódik.
Miért adnak a sorok kettő hatványait? Teljes érvelés
A 4. sor elemei 1, 4, 6, 4, 1. Ezek egy négyelemű halmaz részhalmazait számolják 0, 1, 2, 3 és 4 elemmel. Minden részhalmazt pontosan egyszer számolunk, és 2 × 2 × 2 × 2 = 16 részhalmaz van, mert minden elem egymástól függetlenül benne van vagy nincs benne. Így 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16. Ugyanez az érv bármely sorra működik.
Hasonló számolás jelenik meg az indiai verstanban. A rövid szótagokból (egy ütem) és hosszú szótagokból (két ütem) épülő ritmusok számlálása 1, 2, 3, 5, 8, 13… sorozatot ad. Ezt Virahanka, majd később Hemacsandra tárgyalta 1150 körül, jóval Fibonacci 1202-es Liber Abaci című műve előtt.
Szun-ce maradékproblémája
Feladat · Szun-ce Suanjing
Van egy ismeretlen számú dolog. Hármasával számolva kettő marad. Ötösével számolva három marad. Hetesével számolva kettő marad. Hány dolog van?
Egyesével kell tesztelni a számokat, amíg mindhárom feltétel teljesül.
Először a közös maradékú feltételeket kombinálja, így a keresés néhány jelöltre szűkül.
Mutassa meg a kidolgozott megoldást
1. lépés. A 3-mal és 7-tel osztva kettes maradék azt jelenti, hogy a szám 21 többszöröse pluszt 2. Jelöltek: 2, 23, 44, 65, 86, 107…
2. lépés. Melyik ad 3-as maradékot 5-tel osztva? A 2 maradéka 2, a 23-é 3. Tehát a 23 megfelel.
3. lépés – a korlát. A 23 a legkisebb megoldás, nem az egyetlen. A 105 (= 3 × 5 × 7) hozzáadása minden maradékot megtart, így a 128, a 233 és így tovább is megfelel. Szun-ce szövege a 23-at adja.
Forrási háttér
A Szun-ce Suanjing („Szun-ce mester matematikai kézikönyve”) általában i. sz. harmadik és ötödik század közé datálható. Általános módszert később Csin Csiu-sao dolgozott ki 1247-ben, a Shushu Jiuzhang című művében.
A sorozat azt mondja meg, mi történt. Az indoklás azt mondja meg, mi kell, hogy történjen ezután.
Szeretné látni, hogyan alakulnak a minták döntésekké? Folytassa a stratégiai logikával, vagy a rejtvényhagyományok oldalon olvassa el, honnan származnak ezek a források.